en une : Le raisonnement par récurrence

Dm de maths terms

Mathematiques > sujets expliqués - 07/11/2007 - correction
                
S'il vous plait c'est urgent, j'en ai besoin pour ce soir ! Merci d'avance

Ex.106 p.59 Fractale Terms
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1) Etude d'une famille de fonction
On considere, pour chaque entier n >= 2, la fonction fn, définie sur R+ par fn(x) = x^(n+1) + x^n + x² + x - 1 et sa courbe représentative C.

a) etudier les variations et representer graphiquement les fonction f2, f3 et f4.
b) montrer que les fonctions fn sont strictement croissantes et que les courbes Cn ont exactement deux points en commun.
c) montrer que l'equation fn(x) = 0 a une solution unique que l'on notera Un.

2. Etuder de la suite (Un)

a) calculer u2, puis donner une valeur approchée à 10^-3 pres de u3, u4 et u10.
b) montrer que tous les termes de la suite (Un) sont dans l'intervalle ] 0 ; ( 2/3 ) [.
c) en comparant les fonctions fn et f(n+1) sur l'intervalle [ 0 ; 1 ], montrer que l'on a Un < U(n+1) .
d) en deduire que la suite est croissante, puis qu'elle est convergeante.

3. Calcul de la limite de la suite (Un)

a) en utilisant l'inégalité 0 < Un < 2/3, montrer que lim ( (Un)^n) {ndlr:il y a un n en indice, et un n en exposant} quand n tend vers + l'infini = lim ((un)^(n+1)) quand n tend vers + l'infini = 0
b) en déduire que la limite de alpha de la suite Un est solution de l'équation x² + x - 1 = 0;
c) calculer alpha
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