en une : Le lexique de français

Arithmétique maths ts spéc

Mathematiques > sujets expliqués - Question simple
                
Bonjour Jean-Philippe,

Tout d?abord désolé pour le temps de réponse exceptionnellement plus long que d?habitude. J?espère que tu m?en excuseras.
Pour les démonstrations par récurrence il y a toujours trois étapes à respecter scrupuleusement sinon le raisonnement par récurrence ne prouverait rien. Ces trois étapes sont :
1) prouver que la proposition est vraie au rang 1
2) prouver que si la proposition est vraie au rang n alors elle est vraie au rang n+1
3) enfin donner la conclusion c'est-à-dire que la proposition étant vraie au rang 1 et qu?il y a bien un lien de récurrence alors la proposition est vraie quelque soit la valeur de n.

Le raisonnement par récurrence n?a de valeur QUE si tu fais bien apparaître ces trois étapes.

Dans ton cas tu dois d?abord bien comprendre la définition que l?on te donne des An. Chaque An est un produit de n facteurs qui sont tous les nombres compris entre n+1 et 2n (cela fait bien n facteurs. Cela signifie que pour A1 la définition est le produit de 1seul facteur qui est n+1 c'est-à-dire 2 (A1 = n+1 = 1+1 = 2)
Il est donc très facile de prouver la première étape du raisonnement par récurrence :

A1 = 2 donc A1 est divisible par 2

Maintenant il faut prouver « l?hérédité », c'est-à-dire la passage de n à n+1. Pour cela il faut toujours que tu essaie d?exprimer l?expression du rang n+1 en fonction du rang n, c'est-à-dire exprimer A(n+1) ( (n+1)est en indice) en fonction de An. Si tu écris la définition de A(n+1) tu obtiens :
A(n+1) = ((n+1)+1)((n+1)+2)?(2(n+1)-1)(2(n+1))
Tu peux simplifier cette écriture en écrivant :
A(n+1) = (n+2)(n+3)?(2n-1)(2n)(2n+1)(2n+2) que tu peux comparer avec l?expression de An :
An = (n+1)(n+2)?(2n-1)(2n)
Tu vois alors tout de suite que A(n+1) = An*[(2n+1)(2n+2)/(n+1)]. Donc si An est divisible par 2^n il te suffit de montrer que [(2n+1)(2n+2)/(n+1)] est divisible par 2 pour prouver que A(n+1) est divisible par 2^(n+1). Or ça c?est facile à prouver. Il suffit que tu factorises (2n+2) par 2 c'est-à-dire (2n+2) = 2(n+1). Tu as donc prouver alors que si An est divisible par 2^n alors A(n+1) est divisible par 2^(n+1)

La proposition est vraie pour n=1 et elle est vraie pour n+1 si elle est vraie pour n donc on a prouvé qu?elle était vraie pour tout n.

Voilà j?espère que malgré le retard cela pourra t?aider.

A bientôt.
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