en une : Sujet : causes de la crise de 1929

Dm de maths terms

Mathematiques > sujets expliqués - 07/11/2007 - correction
                
ok, alors c'est parti :
2b)c'est tout bête, il suffit de montrer que pour tout n, fn(0) < 0 et fn(2/3)>0, la courbe est strictement croissante, donc le point où elle s'annule est nécessairement entre les 2.

fn(0) = -1, ça c'est fait.

fn(2/3) = (2/3)^(n+1) + (2/3)^n + (2/3)^2 + 2/3 - 1
fn(2/3) = (2/3)^(n+1) + (2/3)^n + 1/9

et hop, c'est terminé, puisque c'est une somme de termes strictement positifs, le rérésultat l'est aussi.

on a bien nos 2 inégalités.

c)
ici on dérive fn et f(n+1) et sur ]0,1[ la dérivée de fn est strictement supérieure à celle de f(n+1), donc fn croit plus vite, et atteint ainsi 0 plus rapidement que f(n+1)

d)
question pipo sur la croissance, on vient de montrer que pour tout n : Un < U(n+1), c'est la définition même de la croissance stricte.
si on a joute à la croissance stricte la majoration par 2/3, on conclut à la convergence (par contre, on ne peut pas donner la limite)

3
a)
0 < Un < 2/3
donc 0 < Un^n < (2/3)^n
or (2/3)^n tend méchamment vers 0, avec le théorème des gendarmes, on en conclut que Un^n tend vers 0.
et on fait la même chose pour n+1 :
0 < Un^(n+1) < (2/3)^(n+1)

bonne soirée.
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