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(re) devoir de mathématiques

Mathematiques > sujets expliqués - Question simple
                
Bonjour Laurène,

Avant toute chose je tiens à te féliciter car tu as fourni un travail très sérieux pour lequel je n’ai pas grand-chose à redire sur le fond. Sur la forme, j’aurais tendance à te dire de faire attention à ne pas négliger la rédaction. Les phrases de français ne doivent pas devenir un roman mais en revanche il est essentiel d’écrire juste ce qu’il faut pour expliquer ce que l’on fait, pourquoi on le fait et ainsi montrer que tu n’as pas seulement la capacité d’appliquer des formules apprises dans ton cours, mais aussi que tu te les aies approprié et que tu « sens » bien à quoi elle correspondent. Même si cela peut paraître secondaire, c’est essentiel car sentir les notions c’est ce qui te permettra de résoudre des exercice de plus en plus difficile.
Je reviens plus précisément à ton exercice :
1) a) Ta réponse est juste mais rien ne t’empêche d’écrire par exemple « on cherche la probabilité que le test soit positif parmi les 5% de la population qui sont touchés par cette maladie donc on a p(M∩T) = 0.99*0.05 = 0.0495. De même la probabilité que le test soit positif pour une personne saine représente 1% des 95% de personne saine soit p(M « barre »∩T) = 0.01*0.95 = 0.0095 » Cela peut te paraître rébarbatif et inutile de rédiger comme cela mais pour toi cela te permet d’être certaine d’avoir les idées bien claires sur le raisonnement que tu es entrain de mener et pour le correcteur, cela lui permet de voir que tu as vraiment bien compris les choses. Finalement la probabilité que le test soit positif c’est bien la réunion des tests positifs pour les personnes malades ET les personnes non malades donc p(T) = 0.059. Tes résultats étaient parfaitement justes.
b) on cherche la proportion d’individus sains parmi tous les individus testés positivement, c’est donc la fraction p(M « barre »∩T) / p(T). Tu l’a très bien calculée égale à 0.161

2) à partir de maintenant j’arrête de t’ennuyer avec des questions de rédaction mais sache que c’est important et qu’il est possible que l’on te fasse le reproche un jour de ne pas expliquer ce que tu calcules.
a) là aussi tes calculs sont justes. Pas de problèmes
b) ATTENTION : c’est ici que tu as fait ta seule erreur de calcul. La dérivée de u/v c’est (u’v-v’u)/(v^2) et toi tu as écrit (u’v-v’u)/(v’^2) avec la dérivée de v au dénominateur. Donc finalement la dérivée vaut 99/(98p+1)^2. Cela ne change rien pour ton raisonnement car de toute façon cette dérivée est positive.
c) Ton calcul est le bon. On trouve finalement que pour que le test soit fiable (c'est-à-dire qu’il réponde positivement pour plus de 90% des malades) il faut que ce soit un test qui s’applique à une maladie touchant plus de 8.3% de la population (0.9/10.8). Cela signifie que ce test ne convient pas pour des maladies peu fréquentes. Dans le cas de la maladie « rare » de la question 1 par exemple, un test négatif n’assurerait pas avec une bonne probabilité que la personne n’est pas malade.
C’est cette interprétation que l’on te demande d’écrire pour montrer là encore que tu as bien compris les choses au-delà des équations.
3) a) tu as très bien repris la méthode que l’on vous donnait dans la première partie de l’exercice pour l’appliquer dans le cadre de cette question. C’est très bien.
b) Cette fois tu as bien appliqué la formule de la dérivée et la fonction est effectivement décroissante.
c) A cette question comme à la question 2)c) il faut bien que tu écrives que le sens de variation de la fonction de probabilité te permet d’affirmer que si p est supérieur à 0.49, comme la fonction est décroissante alors la probabilité f(p) est nécessairement inférieure à 0.05. Ton inégalité est juste et cohérente avec le sens de variation de f(p) que tu as déterminer, tu dois le dire. Ce n’est pas pour rien que l’on t’a fait déterminer ce sens de variation. Ton calcul est tout à fait juste et la conclusion que tu dois tirer c’est que le fait que le test soit sur à 100% pour des personnes atteinte par la maladie ne suffit pas à en faire un bon test de dépistage car le test peut donner une information fausse pour une proportion de personnes saine trop importante. En l’occurrence pour que le taux de test « faux » (c'est-à-dire positif pour des gens non malade) soit raisonnable ( <5%) il faut nécessairement que ce soit une maladie qui touche plus de 49% de la population, ce qui est énorme ! Une maladie qui touche la moitié des gens c’est une épidémie très grave et heureusement rare !!!

Voilà Laurène, j’espère que ces indications t’aideront. Sache que malheureusement, pour la première fois où tu faisais appel à nos services tu as été victime d’un mauvais concours de circonstances qui ne se renouvellera pas. J’espère que cela n’empêchera pas cette réponse de te parvenir à temps.

Bon courage et à bientôt Laurène.
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