Spé. maths 2

Mathematiques > sujets expliqués - 30/09/2007 - correction

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		Exercice 1 Soit q un entier v lire
		1) on nous dit que 10^10 = 17 lire

1)
on nous dit que 10^10 = 17q - 49
la division euclidienne s'écrirait :
10^10 = 17p + r, avec r < 17
et cette écriture est unique, il suffit donc de réécrire la formule que l'on nous donne :
10^10 = 17q - 49 = 17(q-3) + 17*3 - 49
10^10 = 17(q-3) +2
(il faut vérifier que q ne peut être inférieur à 3, mais c'est évident)

le reste est donc 2.

2)
a = 11p + 8
b = 11q + 2

a+b = 11(p+q) 10
10 < 11, c'est donc bien le reste.

ab = (11p + 8)(11q + 2)
ab = 11(2p+8q+11pq)+16
ab = 11(2p+8q+11pq)+1)+5
le reste est 5

a²=11(11p²+16p)+64
a²=11(11p²+16p+5)+9
le reste est 9

3)
a)il suffit de lister les diviseur de 5, il est premier, il n'y a donc que 1 et 5
donc (1,5), (5,1),(-1,-5), (-5,-1)

puis x+1 = 1 et y-1 = 5
(0,6)
ou x+1 = 5 et y-1 = 1
(4,2)
ou x+1 = -5 et y-1 = -1
(-6,0)
ou x+1 = -1 et y-1 = -5
(-2,-4)
b)
(1,-10),(-1,10),(10,-1),(-10,1)
(2,-5),(-2,5),(5,-2),(-5,2)

c)
il se résoud comme le a)

4)
(a+1)^3 = a^3 + 3a^2+3a+1
donc
a^3+1 =(a+1)^3 - (3a^2+3a)
a^3+1 =(a+1)((a+1)^2 - 3a)
c'est bon a+1 divise (a^3) + 1

on vient de montrer que ça marchait pour a=2, et n=1

es tu sûr de ton énoncé, car pour n=2, la formule ne marche plus il me semble
(65 pas divisible par 3)

5)
il suffit d'utiliser l'algorithme d'euclide et on obtient :

2n² + n = n(n + 1) +n²

n² + 2n + 3 = n(n+2) + 3

(3^n) - 2 =2*(3^(n-1))+ (3^(n-1)-2)

voilà, j'ai laissé la question ouverte pour que tu puisses me demander si tu as des questions (ne pas en abuser tout de même) mais cela devrait bien t'aider normalement

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