en une : Le lexique de français

Toujours problème du même exo

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Bonjour Audrey,

Tu dois faire très attention à ne pas mélanger les liens logiques. Ce n’est pas parce que une hypothèse A impose que une proposition B soit vraie que l’inverse (c'est-à-dire B implique A) est vrai. Je te donne un exemple :
On a le droit de dire : si il n’y a pas de nuage dans le ciel alors il ne pleut pas. Cette proposition est vraie. L’hypothèse A « il n’y a pas de nuage dans le ciel » est une condition suffisante pour pouvoir être sur qu’il ne pleut pas. En revanche on ne peut pas dire la réciproque : « si il ne pleut pas, alors il n’y a pas de nuage dans le ciel » En effet il peut très bien y avoir des nuages sans pour autant qu’il pleuve, donc la réciproque n’est pas nécessairement vraie. La logique est exactement la même dans un exercice de math. Tu ne peut donc pas affirmer qu’une démonstration est vraie juste parce que tu as déjà démontré la réciproque. Chaque sens d’implication doit être démontré indépendamment l’un de l’autre.
Pour ce qui est de supposer que vn est majorée, parce que un est majoré tu n’as pas le droit de le dire directement car tu n’en apportes pas la preuve. Je te donne un exemple pour te montrer que ce que tu dis n’est pas forcément vrai :
Si tu prend la suite (un) = 1/n et la suite (vn) = 1/(un) . Avec ces définitions la suite (un) est une suite qui converge vers 0 quand n tend vers l’infini donc (un) est majorée . La suite (vn) s’exprime en fonction de la suite (un) donc si ce que tu dis était vrai, comme (un) est majorée et que (vn) s’exprime en fonction de (un) alors (vn) devrait être majorée. Mais dans le cas que je te donne, (vn) s’écrit (vn) = n et donc (vn) n’est pas du tout majoré quand n tend vers l’infini. Je te donne cette exemple pour te montrer que tu dois faire très attention à ce que les hypothèse que tu donnes implique vraiment. Tu dois être très rigoureuse et te demander à chaque fois : « si je considère cette hypothèse là et uniquement celle la, qu’est-ce qeu cela donne comme conclusion » sans vouloir aller trop vite à la conclusion que tu cherches à démontrer sinon tu loupes des étapes.
Donc, dans le cas de ton exercice on te demande de démontrer que si (un) converge alors (vn) converge et que la réciproque est vraie aussi. On va commencer par montrer la première implication ( si (un) converge alors (vn) converge)
La seule hypothèse que l’on va utiliser ici c’est que (un) converge. Tu dois alors te demander ce que cette seule hypothèse implique ? Cela signifie que (un) tend vers une limite finie que l’on va appeler U. On a alors (un)/(1+(un)) qui tend vers U/(1+U). Cette valuer n’est finie QUE si U est différent de -1. Comme tu as démontré précédemment que (un) est croissante il suffit que tu trouve une valeur de n pour laquelle (un)>-1 et tu seras sure que la limite de (un) est différente de -1 et donc que U/(1+U) est bien une valeur finie. Tu auras alors démontré que (vn) tend vers une limite finie égale à U/(1+U) donc (vn) converge si (un) converge.

Il reste à montrer la réciproque : (si (vn) converge alors (un) converge)
Si (vn) converge alors (vn) est forcément majorée au-delà d’une certaine valeur de n. Dit en langage mathématique rigoureux cela donne : il existe une valeur de n = no et un réel K tel que quelque soit n > no on a (vn) < K (au-delà du rang no pour toute valeur de n on a (vn) majoré par K). On vient de montrer que (vn) < K donc (un)/(1+(un)) < K. Comme (un) est supérieure à -1 (cf ci-dessus) on a le droit de résoudre cette inégalité c'est-à-dire :
(un) < K(1+(un)) et donc (un) < K/(1-K). Donc si K est différent de 1 alors (un) est majorée par le réel K/(1-K). Comme tu sais que (un) est croissante, (un) est une suite croissante et majorée donc (un) converge. (au passage note bien que le théorème que tu citais doit s’énoncer dans ce sens là et non pas tel que tu l’a écrit. La aussi tu dois faire très attention au sens des implications)

Les deux sens de la démonstration on été démontré donc la proposition ET sa réciproque sont vérifiées.

Voilà Audrey, j’espère que cela t’aidera et que tu cela te donne des idées plus claires sur les liens logique entre différentes propositions.

Bon courage pour finir l’exo et à bientôt.
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