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Développement décimal d'un rationnel

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Bonjour Sarah,

Tout d’abord désolé pour mon temps de réponse exceptionnellement beaucoup plus long que d’habitude. J’espère que cela ne t’aura pas trop gênée, cela ne se reproduira pas.

Dans ce genre d’exercice il faut toujours bien s’appuyer sur les définitions de ce que l’on te donne.
1) Pour la première question tu n’as qu’une seule hypothèse c’est que tu dois partir d’un nombre rationnel, tu vas donc devoir repartir de la définition d’un nombre rationnel. Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous forme d’une fraction de deux nombres entiers. Si j’appelle R un nombre rationnel, je pourrai donc toujours l’écrire R = a/b avec a et b deux nombres entiers. Pour trouver l’écriture décimale de ce nombre il suffit de calculer la division de a par b. On trouve alors une partie entière et un reste, c'est-à-dire que dans la nombre a il y a un certain nombre de fois le nombre b (ca c’est la partie entière) et il y a un reste, qui par définition est plus petit que b (c’est le principe de la division euclidienne dont tu dois avoir entendu parler).On peut donc écrire que a = k*b + r avec k un entier naturel supérieur ou égal à 0, et r le reste qui est forcément plus petit que b. Pour continuer à trouver l’écriture décimale de R il faut continuer à diviser le reste r par b et ainsi de suite. Mais comme le reste de chacune de ces divisions successives est toujours inférieur à b il y a un nombre fini de décimale possible. Au bout d’un moment on tombe donc forcément sur 0 où sur une décimale que l’on a déjà calculé, auquel cas la série de décimale déjà calculée recommence. Il y a alors périodicité. Un nombre rationnel a donc toujours une développement décimal périodique.
2) a) pour cette question il suffit d’écrire exactement ce que l’on te demande :
1000p = 456,456456…
donc 1000p – p = 456,456456…- 0,456456… = 456
1000p – p = 456
ce que tu peux réécrire 999p = 456
c'est-à-dire en divisant de chaque coté par 999 :
p = 456/999
donc p est bien un nombre rationnel car il s’écrit sous forme d’une fraction de deux nombres entiers. Il ne reste plus qu’à réduire au maximum la fraction c'est-à-dire trouver les facteurs communs du numérateur et du dénominateur de la fraction. Ici on voit facilement que le dénominateur est divisible par 3 (car 999/3 = 333) et pour vérifier que le numérateur est divisible par 3 il suffit que tu vérifie que la somme des chiffres de 456 est un multiple de 3 (4 + 5 + 6 = 15 et 15 est divisible par 3) . Tu peux donc réduire la fraction en divisant par 3 en haut et en bas. Tu obtiens alors :
p = 456/999 = 152/333

b) Pour cette question j’ai un doute sur la signification des nombres tels que tu me les a écris. Je pense devoir comprendre qu’il s’agit bien à chaque fois de nombres décimaux périodiques en reproduisant les derniers chiffres à l’infini. Si la définition que je prends de ces nombres est bonne alors tu peux résoudre cette question de al façon suivante :
x = 0,6363… Comme pour p il faut multiplier x par une puissance de 10 égale à 10^n (ou n est la longueur de la période du développement décimal). En faisant cela , tu peux faire apparaître un nombre entier (ce qui est nécessaire pour essayer d’écrire le nombre sous la forme d’un nombre rationnel) et retrancher la partie décimale qui en raison de la périodicité va s’annuler. Donc pour x il suffit que tu écrives
100x – x = 63,6363… - 0,6363…
ce qui donne
100x – x = 63 et donc x = 63/99 = 21/33 = 7/11
pour y il y a une partie entière (3) qui t’empêche de faire exactement la même chose car la périodicité ne commence qu’après la virgule. Il faut donc que tu essaie de trouver une astuce pour te débarrasser de cette partie entière si tu veux montrer qu’il s’agit bien d’un nombre rationnel. Il suffit en fait de retrancher cette partie entière en faisant :
1000*(y-3) – (y-3) . Je multiplie par 1000 parceque la périodicité est de longueur 3 (c’est la série de 3 chiffres 287 qui se répète à l’infini) et je retranche 3 pour enlever la partie qui ne fait pas partie de la périodicité. Il ne reste plus qu’à calculer ce que cela donne :
1000*(y-3) – (y-3) = 1000*(3,287287…-3) - (3,287287…-3)
=1000*0,287287… - 0,287287…
= 287
donc 1000*(y-3) – (y-3) = 287
c'est-à-dire en développant 1000y – 3000 – y + 3 = 287
ce qui donne 999y = 287 + 2997
et donc y = 3284/999
Pour z il faut que tu appliques encore la même méthode mais en enlevant trouvant quel nombre il faut soustraire à z pour enlever toute la partie qui n’est pas périodique. Tu trouveras alors une expression fractionnaire de z qui prouve que z est un rationnel.

c) la méthode que j’ai employé ci-dessus pour prouver que x y et z sont des rationnels est en fait complètement générale. Pour tout nombre décimal périodique tu peux toujours lui retrancher un nombre qui permet de retirer le début du nombre décimal qui n’est pas périodique (c’est ce que l’on appelle la « prépériode »). Ensuite tu te retrouves avec un nombre n’ayant que des décimales périodiques dont tu peux toujours trouver la forme fractionnaire en a/b en appliquant ce que l’on a déjà fait pour p c'est-à-dire écrire p*10^n – p où n est la longueur de la période du nombre décimal. Ainsi on peut prouver que tout réel décimal périodique est un rationnel car on peut toujours l’écrire sous forme a/b .

3) compte tenu de ce que l’on vient de démontrer les nombres x et z sont tous les deux des nombres décimaux périodiques donc ils sont rationnels ; En revanche les nombres y et t n’ont aucune périodicité jusqu’à l’infini, ce ne sont donc aps des rationnels, ce sont des nombres dits « transcendant » (en fait y = racine(2) et t = Pi
4) La grande différence entre un nombre rationnel et un nombre irrationnel c’est qu’un nombre rationnel a un développement décimal périodique alors qu’un nombre irrationnel n’a pas de développement décimal périodique.

Tu dis au début de l’énoncé que tu es consciente que l’énoncé est un peu long, ça ce n’est pas un problème. En revanche ce qui serait bien la prochaine fois c’est que tu nous dises ce que tu as essayé de faire, où est-ce que tu as eu des problèmes, qu’est-ce que tu ne comprends pas dans l’exercice pour que je puisse te faire une réponse plus spécifiques aux difficultés que tu peux avoir.

Voilà Sarah, j’espère que malgré le temps de réponse un peu long cela pourra t’aider.

A très bientôt.
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