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		Dans le plan complexe P rappor(...)
		Bonjour Bertrand, La pr lire

Bonjour Bertrand,

La première des choses que tu dois faire quand tu as un exercice comme cela c’est d’écrire les coordonnées dans le plan complexes de tous les points de l’énoncé :
A (0 , i)
B (racine(2) , 0)
C (racine(2), i)
I (racine(2)/2 , 0)
J (racine(2)/2, i)
K (racine(2) , i/2)
Tu auras forcément besoin de ces coordonnées tout au long de l’exercice.

1)a) Pour la première question il faut que tu utilises la définition complexe d’une similitude : une similitude est une application qui à un complexe z associe le complexe z’= az + b
Dans cette définition tu as le module de a qui est égal au rapport de la similitude :
|a| = k
et l’argument de a qui vaut l’angle de la similitude
arg(a) = α
Donc pour trouver le rapport et l’angle de la similitude il te suffit de trouver a et b. Tu as donc deux inconnues mais comme tu connais deux points A et O et leurs images par la similitudes I et B tu peux écrire deux fois l’équation z’= az + b avec les coordonnées de A, O, B et I. En résolvant ce petit système de deux équations tu trouves a et b (tu dois trouver que a= -racine(2)/2i et b= racine(2) ).
b) l’écriture complexe de s c’est z’= az + b avec le a et le b que tu viens de trouver
c) l’affixe du centre d’une similitude est donné par = b/ (1-a)
d) une similitude directe conserve l’orthogonalité et transforme une droite en une droite. Tu es donc déjà sur que l’image du rectangle AOBC est un rectangle. Maintenant que tu connais a et b tu peux calculer les affixes des images de B et C par s en utilisant la définition z’= az + b. Tu trouves ainsi les coordonnées des deux autres sommets du rectangle image de AOBC.
2) a) la composition de s par s reviens simplement à calculer l’image par s de l’image par s du point initial. C'est-à-dire que pour O par exemple, tu calcules l’image par s de O (toujours avec la définition z’= az + b) tu trouveras B et ensuite tu calcules l’image par s de B tu trouveras le troisième sommet du rectangle que tu as trouvé à la question précédente. Ce troisième sommet est l’image par sos de O. Tu fais la même chose pour les deux autres points que l’on te demande.
b) Pour prouver que sos est une similitude il suffit qeu tu montres que pour tout point du plan complexe tu peux écrire que z’= cz + d. Or tu sais que l’image de z par s s’écrit z’= az + b. L’image de z’ par s s’écrit z’’= az’ + b donc z’’= a^2*z + ab + b. Donc sos est bien une homothétie avec c = a^2 et d = ab + b. Le seul point qui est invariant par s est son centre. Donc le centre de s est aussi invariant par sos. Le centre de s est donc aussi le centre de sos.
Pour montrer que les trois droites sont concourantes il suffit que tu montre que le centre de sos donc le centre de s appartient a ces trois droites. Le centre d’une homothétie étant invariant cela suffit à démontrer que les trois droites se coupent en ce point.

La fin de l’exercice consiste à refaire les mêmes calculs en appliquant systématiquement la définition de s à l’affixe de l’image que tu trouves du point A par sososo….s n fois. Tu trouveras alors sans difficultés l’expression des termes de al suite An.

Voila j’espère que cela t’aideras.

Il te serait plus utile la prochaine fois de nous envoyer ce que tu as déjà fait sur le DM pour que l’on puisse te le corriger, te dire ce que tu fait bien et t’aider plus précisément là ou tu as des difficultés. Cela te serait beaucoup plus profitable que de n’envoyer que l’énoncé.

A bientôt Bertrand et bon courage.

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