en une : Le lexique de français

Problème de démonstration

Mathematiques > sujets expliqués - Question simple
                
Bonjour Thibaud,

Pour les deux premières questions, même si tu as su les faire tu pouvais si tu le voulais, nous envoyer ce que tu as fait pour que l’on te dise ce qui était bien ou pas notamment au niveau de la rédaction.

Pour la question c) tu as très bien commencé en montrant que NPD est un triangle rectangle en P. Tu as très bien fait aussi de montrer que NP = x. Tu es donc d’accord que ce qu’il te manque maintenant c’est de montrer que DP = x. En général dans ce genre d’exercice il faut toujours se resservir des questions précédentes. Tu as déjà utilisé la question b) pour montrer que NPD est rectangle mais tu peux encore utiliser le fait que CHD est isocèle (question a)). Cela te donne l’information DH = HC ce qui peut être intéressant parce que P appartient à DH, donc si tu arrives à calculer HP, tu sauras calculer PD = HD – HP et ainsi prouver que PD = x = PN.
Je t’ai présenté les choses comme ça pour te faire comprendre comment on peut trouver l’idée de la démonstration. Maintenant je te rédige la démonstration « dans le bon sens » !
J’appelle I le point d’intersection de CH avec MN. La droite CH est perpendiculaire à MN car elle est perpendiculaire à AD et MN est parallèle à AD.
Je vais d’abord montrer que le triangle ICN est isocèle :
Le triangle CHD étant isocèle les angles HCD et HDC sont égaux (propriété d’un triangle isocèle). De plus, les droites MN et AD sont parallèle donc elles forment avec la droite CD des angles égaux : on a les angles MNC et ADC qui sont égaux c'est-à-dire que l’angle INC est égal à HDC. Comme l’angle HDC est égal aussi à HCD, cela signifie que l’angle INC est égal à l’angle HCD (qui peut aussi s’écrire ICN) . Le triangle ICN est donc un triangle qui a un angle droit en I et deux angles égaux en C et N, par théorème c’est donc forcément un triangle isocèle rectangle en I.
Maintenant je montre que NPD est isocèle :
Le triangle ICN étant isocèle rectangle on a IC = IN. Comme CH et NP sont perpendiculaires à MN et AD, INPH est un rectangle. Donc HP = IN = IC. On réutilise encore une fois le fait que DHC est isocèle pour dire que HC = HD. Or par définition on a HC = HI + IC et HD = HP + PD et on a montré que IC = HP donc HI = HC–IC = HD–HP = PD. Comme INPH est un rectangle on a IH = NP = x donc finalement NP = PD = x . Conclusion : le triangle NPD est rectangle isocèle en P de coté x.

Voilà j’espère que cela t’aidera.

Bon courage et à bientôt Thibaud.
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