en une : Le raisonnement par récurrence

Suite du devoir sur les fonctions

Mathematiques > sujets expliqués - Question simple
                
Bonjour Martine,

Tu as fait de bonnes choses mais il y a des erreurs que tu pourrais éviter je pense. Je reprends les questions dans l’ordre :

2) a) Fais bien attention à ne pas confondre le nombre auquel tu appliques la fonction (on l’appelle l’antécédent) et la valeur que donne la fonction appliquée à ce nombre (valeur que l’on appelle « image ») . Quand tu écris f(0) c’est un nombre que tu ne connais pas à priori et tu n’as aucune raison de considérer sans preuve que f(0) = 0. La seule chose que tu peux dire c’est que f(0) = x avec x un nombre quelconque appartenant à IR. Il en est de même pour f(1). Il faut bien que tu comprennes que f(x) est juste une notation pour désigner le nombre que donne la fonction f quand tu le calcul pour la valeur x. f(x) est un nombre pas une fonction, la fonction c’est l’application qui à x associe f(x) c'est-à-dire x - > f(x). La confusion entre l’image et l’antécédent t’a fait faire quelques erreurs au début :
Quand tu écris f(0+0) = f(0)+ f(0) tu ne sais pas quelle est la valeur de f(0) donc la seule chose que tu peux tirer de cette équation c’est que f(0) = 2.f(0) Dans le terme de gauche tu peux calculer la somme 0+0 parce que c’est un calcul sur les antécédents c'est-à-dire que en écrivant f(0+0) tu dis que tu va appliquer la fonction f au nombre 0+0. Le nombre 0+0 tu le connais c’est 0 !!! Donc dans le terme de gauche tu appliques la fonction f au nombre 0 c'est-à-dire que tu peux écrire f(0). Par contre dans le membre de droite tu dois faire la somme de deux nombres égaux à f(0) (image de 0 par la fonction f) mais tu ne connais pas la valeur de f(0) tu ne peux donc pas faire le calcul de la somme des antécédents.
Après il faut que tu réfléchisses à ce que te donne l’équation f(0) = 2.f(0) ? En cherchant les conditions qui permettent que cette équation soit vraie, cela te donne les valeurs possibles du nombre f(0). Ici la seule solution c’est f(0) = 0 .
Tu as fait le même genre d’erreur sur f(1+1) = f(1)+ f(1) et f(0x0)= f(0)x f(0) en écrivant respectivement f(2) = f(2) et f(0)= f(0) . dans le premier cas tu as fais la somme f(1) + f(1) = f(2) c'est-à-dire que tu as sommé les antécédent alors que la somme porte sur les images. Tu aurais donc du écrire f(1+1) = 2.f(1) c'est-à-dire f(2) = 2.f(1) (dans le membre de gauche tu peut écrire f(2) parce que la somme porte sur les antécédents) .
Pour f(0x0) = f(0)xf(0) tu peux calculer l’antécédent 0x0 = 0 mais tu ne peux pas calculer f(0)xf(0) autrement qu’en écrivant que f(0)xf(0) = f(0)² (le signe ² signifie « puissance 2 »). Mais je pense que tu l’as compris puisque tu l’as bien fait avec f(1)xf(1) tu as simplement cru que la valeur 0 était particulière alors que rien ne le prouve. Tu peux très bien avoir des fonctions où f(0) est différent de 0 comme par exemple la fonction x - > x+1
Finalement en écrivant E1 et E2 à la fonction f tu obtiens :

pour x = y = 0
E1 donne f(0) = 2.f(0) ce qui impose f(0) = 0
E2 donne f(0) = f(0)²

pour x = y = 1
E1 donne f(2) = 2.f(1)
E2 donne f(1) = f(1)² ce qui impose f(1) = 0 ou f(1) = 0 mais ça tu l’avais très bien fait.

2) b) dans ce que tu m’as écris tu n’avais pas donné de démonstration pour prouver que si f(1) = 0 alors f(x) = 0 pour tout x. Pour prouver cela il suffit que tu écrives E2 pour y = 1 et x quelconque. Tu as alors f(x+y) = f(x).f(y) qui s’écrit avec les hypothèses que l’on a faites : f(x+1) = f(x).f(1) et comme on a fait l’hypothèse que f(1) = 0 cela veut dire que f(x+1) = 0 quelque soit x. Donc pour n’importe quel réel (x+1) la fonction f est nulle.

3) a) Dans la question 3 on se place justement dans le cas où la fonction f n’est pas nulle c’est pour ça que l’on te dit de supposer que f(1) = 1.
Pour calculer f(x²) en fonction de f(x) fait attention de ne pas faire la même erreur que dans la question 2 : à gauche tu as bien f(x.x) = f(x²) mais par contre dans le membre de droite tu n’azs pas le droit de multiplier les antécédents parce que le produit porte sur les images donc f(x).f(x) = f(x)² . Donc l’équation E2 te donne f(x²) = f(x)² pour tout x.
Pour prouver que f(x) >/ 0 tu as eu une très bonne idée en prenant la racine carrée de x ce que tu as effectivement le droit de faire puisque on se place sur les réels positifs uniquement. La seule chose que je peux te conseiller sur cette question c’est peut-être de faire une rédaction où tu montre bien clairement les hypothèse desquelles tu pars et la conclusion que tu en tires. Je te donne un exemple de rédaction possible :
Quelque soit x réel positif il existe un réel X tel que X = racine(x) . Si on écrit l’équation E2 avec la fonction f appliquée à X on obtiens f(X.X) = f(X).f(X)
Par définition on a X.X = racine(x)² = x donc E2 se réécrit f(x) = f(racine(x))². Un nombre au carré étant forcément positif on a f(racine(x))² >/ 0 c’est-à-dire que l’on a f(x)>/0 quelque soit x.
Tu as cru que prouver que f(x) est positif suffisait à dire que f était croissante. C’est faux car tu peux avoir une fonction qui est toujours positive mais qui est toujours décroissante. Par exemple la fonction x - > 1/x sur les réels positifs est toujours positive mais elle est décroissante sur IR+ . Pour prouver qu’une fonction est croissante tu dois prouver que quelque soient x1 et x2 deux réels tels que x2 > x1 on a f(x2) > f(x1) c’est-à-dire que si x2 est plus grand que x1 son image par f doit être plus grande que l’image de x1. Tu peux facilement le voir sur le graphe d’une fonction croissante (comme x - > x par exemple) où tu verras que si tu prend une valeur x2 en abscisse plus à droite qu’une autre x1, le point de la courbe correspondant à x2 sera plus haut que celui correspondant à x1. Ce serait l’inverse avec une fonction décroissante.
Ici pour faire la démonstration tu peux utiliser l’équation E1. Supposes x et y réels positifs quelconques. Nécessairement x+y > x puisque y est positif. Si tu écris E1 tu as f(x+y) = f(x) + f(y) . Tu viens de montrer que si y >0 alors f(y) > 0 (c’est la démonstration précédente) donc f(x) + f(y) > f(x). Du coup f(x+y) > f(x). dans cette inégalité x+y représente n’importe quel nombre réel supérieur à x donc on vient de montrer que pour n’importe quel nombre supérieur à x son image est supérieure à f(x). C’est la définition d’une fonction croissante, donc f est croissante.

3) b) Pour calculer f(2) f(3) et f(4) tu devrais plutôt utiliser l’équation E1. Tu connais f(1) = 1 donc tu peux écrire f(2) = f(1+1) = f(1) + f(1) = 1 +1 = 2
De même tu as f(3) = f(2+1) = f(2) + f(1) = 2 + 1 = 3
La même chose pour f(4) te donne f(4) = 4 et ainsi de suite. Tu pourras assez facilement prouver que f(n) = n. Ton résultat était faux parce que tu as utiliser l’expression de f(x²) que tu avais trouvée à la question 3) a) et je t’ai expliqué au dessus pourquoi elle était fausse.

La plus grosse erreur que tu as faite c’est de confondre un nombre et son image par une fonction. Lorsque tu as une opération à faire (multiplication, somme ou autre…) il faut bien qeu tu te demande si c’est une opération à calculer sur les antécédents ou sur les images. Antécédent et images sont dans des ensembles différents et ne se mélangent jamais. Ce sont deux choses très différentes et il faut que tu ai bien compris cela.
J’espère que tout cela te servira et que tu auras cette réponse suffisamment tôt pour que tu puisses finir ton devoir.

Bon courage et à bientôt Martine.
Documents attachés :    aucun document joint.
précédent |