en une : Le raisonnement par récurrence

Démonstration

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Bonjour Jeremy,

Dans cet exercice tu as eu le même problème que dans le précédent c'est-à-dire que tu as voulu remplacer n par une valeur prise au hasard alors qu’il faut d’abord faire la démonstration de façon générale pour que le résultat soir vrai pour n’importe quelle valeur de n. Je vais te faire la démonstration de cette exercice pour que tu comprennes bien l’intérêt de faire une démonstration littérale et dans le troisième exercice que tu nous as envoyé je te donnerai juste des indication pour que tu apprennes à faire toi une démonstration générale.

Ici tu dois démontrer que 1/(n(n+1)) = 1/n - 1/(n+1) pour n’importe quelle valeur de n entier naturel non nul
(Remarque que l’on te précise que n doit être non nul juste pour ne pas avoir de problème de définition de 1/n. De même on te précise que n est un entier naturel pour que n ne puisse pas être négatif parce que sinon tu pourrais avoir n=-1 et dans ce cas 1/(n+1) ne serait pas définit. On se place donc dans un cas où toutes les valeurs possibles de n doivent marcher pour le résultat que l’on te demande de prouver.)
Quand tu as une égalité à prouver il est parfois plus facile de partir de la fin et d’essayer de montrer le terme de gauche. C’est le cas ici : le terme de droite de ton égalité est constitué de deux fractions. La méthode classique pour calculer la somme de deux fractions c’est de mettre les deux fractions au même dénominateur. Mettons 1/n et 1/(n+1) au même dénominateur :
Pour faire ça il suffit de multiplier en haut et en bas une des fractions par le dénominateur de l’autre fraction. Par exemple on multiplie 1/n en haut et en bas par (n+1) (le dénominateur de l’autre fraction). On obtient (n+1)/(n*(n+1)). Pour l’autre fraction on multiplie en haut et en bas par n et on obtient n/(n*(n+1)). Les deux fractions étant au même dénominateur on peut alors calculer la différence des numérateurs sans problème. Le but est d’exprimer la différence de ces deux fractions sous forme d’une seule fraction pour pouvoir comparer à la fraction que l’on a au membre de gauche de l’équation que l’on t’a demandé de prouver. Le calcul de la différence donne une unique fraction qui vaut ((n+1)-n)/(n*(n+1)) = 1/(n*(n+1)). On retombe sur le terme de gauche de l’égalité. On a donc prouvé le résultat dans le cas général sans faire aucune supposition sur la valeur de n. Maintenant on peut utiliser ce résultat pour calculer les sommes S6 et S2004.
Pour S6 il n’y a que 6 terme ce qui fait que tu as pu calculer les terme un à un pour les sommer mais si on te demande de déduire la valeur de S6 du résultat que l’on vient de démontrer c’est pour t’aider à trouver une formule générale que tu pourra utiliser même pour S2004 où là il est impossible de calculer tous les termes un à un. On te dit « en déduire », il faut donc que tu cherches à voir comment utiliser le résultat 1/(n(n+1)) = 1/n - 1/(n+1) dans la formule de S6. Tu peux facilement remarquer que S6 correspond à la somme des nombres 1/(n(n+1) avec n qui vaut successivement 1 puis 2 puis 3 , 4 et enfin 5. Tu peux réécrire S6 avec la formule que l’on vient de démontrer : en effet tu peux par exemple écrire que 1/(1*2)=1/1-1/2 (c’est la résultat précédent en prenant n=1). Tu peux écrire la même chose pour tous les termes de la somme S6. Par exemple tu peux aussi écrire que 1/(5*6)=1/5-1/6 (c’est le même résultat pour n=5). Finalement si tu réécris complètement la somme S6 en utilisant le résultat général que l’on a démontrer tu obtiens S6 = 1/1-1/2 + 1/2-1/3 + 1/3-1/4 + 1/4-1/5 + 1/5-1/6 . En l’écrivant comme ca tu vois tout de suite que mis à part le premier terme et le dernier, tous les autres termes s’annulent deux à deux parce que tu as toujours une fraction et son inverse comme 1/2 – 1/2 = 0 ou 1/3 – 1/3 = 0 etc… Finalement tu peux écrire S6 = 1/1 – 1/6 = 1 - 1/6 = 5/6
En ayant constater que dans les somme de nombres de la forme 1/(n(n+1)) tous les termes centraux s’annulent tu peux alors facilement déduire S2004 = 1 - 1/2004 c'est-à-dire le premier terme mois le dernier qui sont les deux seuls terme à ne pas s’annuler dans la somme.

L’exercice est résolu mais ce qu’il faut bien que tu vois dans cette démonstration c’est qu’il aurait été impossible de calculer S2004 si on avait pas un résultat qui marche pour toutes les valeurs de n même celle que l’on ne calcule pas ! Par ailleurs pense toujours que lorsque l’on te dis de déduire un réponse du résultat de la question précédente il faut toujours que tu introduire ce résultat dans l’expression que l’on te demande.

Reprend bien cette démonstration pour bien la comprendre et tu verras que tous les exercices sur les suite numérique (S1 S2 …S6…S2004) est une suite numérique se résolvent sur le même principe.

J’espère que cela t’aidera.

A très bientôt Jérémy.
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