écriture complexes des transformation

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bonjour!

Pour vérifier la première question il suffit de remplacer a, b et c par leurs expressions et de bien se souvenir que l’on ne calcul pas avec des complexes comme avec des réels, c'est-à-dire qu’il faut calculer la partie réelle séparément de la partie imaginaire. Il faut aussi savoir que i*i=-1. On peut alors calculer i(a-c)=i(8-(-4i))=i(8+4i)=8i-4. Tu pourras facilement trouver que b-c vaut également -4+8i.
Pour prouver qu’un triangle est isocèle il faut montrer que deux des cotés sont égaux. Lorsque l’on te dit dans la question 2 de déduire quelque chose de la question 1 tu peux te dire que la réponse est pratiquement donnée par l’égalité que tu viens de démontrer. En effet pour calculer la longueur d’un segment il suffit de prendre la norme de la différence des affixes des extrémités du segment. La longueur du segment AC s’écrit donc ||a-c|| . La orme d’un produit est égal au produit des normes c'est-à-dire que ||i(a-c)||=||i||*||a-c|| et par définition ||i||=1. Tu peux donc te rendre compte que l’égalité de la question 1 te prouve que les segments AC et BC ont la même longueur (il suffit que tu passes légalité en norme).Je te rappelle que la norme d’un complexe z=a+ib vaut ||z||=racine(a^2+b^2) (avec ^2 qui signifie puissance 2). Le triangle ABC est donc isocèle parce que ||AC||=||BC||=racine(80). Pour prouver qu’il est rectangle tu peux penser au théorème de Pythagore qui dit qu’un triangle ABC est rectangle en C si ||AB||^2 = ||BC||^2 + ||AC||^2. Je te laisse calculer la norme de AB et vérifier que l’on peut effectivement appliquer Pythagore dans ABC.
Pour la question 2 il faut que tu penses bien que tout nombre complexe peut s’écrire sous la forme z=r*exp(it) ( exp(it) veut dire e puissance it). Pour voir ce que cela signifie prend un repère O,u,v dans le plan complexe et place le point d’affixe z=r*exp(it). Trace la droite qui relie O à ce point. Si maintenant tu fais varier r en gardant t constant, le point que tu désignes par l’affixe z se déplace le long de ta droite. Si au contraire tu fais varier t avec r constant tu fais tourner le point sur un cercle centré en O et de rayon r. Donc r et t te donne respectivement une information radiale et une information angulaire sur ton nombre complexe, c'est-à-dire qu’en fait r désigne le module (ou la norme c’est pareil) de z et t son argument. Maintenant la transformation que l’on te propose consiste à multiplier tout nombre complexe par une constante exp(i*Pi/3). Pour trouver ce que fait cette transformation il faut que tu écrives ce qu’elle fait pour un nombre complexe quelconque : Pour z=r*exp(it) on a z’= z* exp(i*Pi/3) = r*exp(it)* exp(i*Pi/3) = = r*exp(i(t+Pi/3))
Tu vois qu’en fait la transformation ne change qu’une chose c’est qu’elle modifie t en t+Pi/3. Avec ce que je t’ai dit avant cela veut dire que tu fais tourner l’argument de ton complexe d’un angle Pi/3 (c'est-à-dire 60°). La transformation est donc une rotation d’angle +Pi/3.
Pour calculer les affixes de a, b et c il suffit de faire calculer le module et l’argument de chaque nombre a, b et c. Pour a ca donne ||a||=8 et arg(a)=0 (car a est sur l’axe des réels). Je te rappelle que l’argument t d’un nombre complexe z=x+iy est donné par cos(t)=x/||z|| et sin(t)=y/||z||.
Pour calculer le milieu d’un segment il faut que tu prennes la moyenne des affixes des extrémités du segment. Pour P par exemple cela donne :
Re(p) = (Re(a) + Re(b))/2 = (8-4)/2 = 2
Im(p) = (Im(a) + Im(b))/2 = (0+4)/2 =2
(j’ai noté Re(p) et Im(p) la partie réelle et la partie imaginaire de p )
Le point P a donc pour affixe p=2+2i
Tu fais pareil pour les autres segments.
Pour montrer l’égalité du b) il faut que tu remplaces p,q et r par leur valeur comme dans la première question mais il faut aussi que tu vois que exp(i*Pi/3) est un nombre complexe qui peut s’écrire cos(Pi/3)+i*sin(Pi/3) c'est-à-dire ½ + i*racine(3)/2. Tu pourras alors trouver l’égalité, et comme tu as prouvé à la question 2)a) que multiplier par exp(i*Pi/3) revient à faire une rotation d’angle 60° l’égalité te montre que dans le triangle PQR, le coté RP a la même longueur que QP et que le segment est tourné d’un angle 60°. Un triangle dont deux coté sont égaux et forment entre eux un angle de 60° est forcément un triangle équilatéral.

Je t’ai donné tout ce qu’il faut pour finir l’exercice. Je crois qu’il serait plus intéressant pour toi que tu nous envoies ce que tu as déjà fait sur un exercice pour que l’on sache mieux sur quoi tu as des problèmes ou pas. Il vaut mieux dans ce cas que tu prennes une correction d’exercice sur le site et que tu nous montres ce que tu as fait. On pourra alors te donner une correction complète et mieux t’aider là où tu en as vraiment besoin.

Bon courage et à bientôt.

PS : tu le verras dans l’autre réponse mais il y a un petit problème dans l’énoncé de l’autre exercice que tu nous as soumis.

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