en une : Le lexique de français

étude de fonction (travail urgent)

Mathematiques > sujets expliqués - Question simple
                
bonjour!

La première question est la pour te guider pour la suite mais sois bien conscient qu'en aucun cas une valeur que tu lis sur ta calculette ne constitue une preuve mathématique.
L'exercice porte sur une équation du 4ème degré dont on ne sait pas trouver les solutions directement. On te propose donc une résolution graphique. Les dérivées successives te permettent de remonter à une équation du second degré que là tu sais résoudre. Ces dérivées te permettent de connaître les variations de ta fonction. En regardant le signe de la fonction sur chaque domaine tu pourras en déduire à quel endroit il peut y avoir des zéro.
Pour la deuxième question il faut juste se souvenir que la dérivée d'une somme est égale à la somme des dérivées ( (f+g)'=(f'+g') ) et que la dérivée de a*x^n vaut n*a*x^(n-1). En appliquant ça, tu trouves la dérivée première puis en dérivant celle-ci tu trouveras
f''=6x^2-30x+24
Cette équation du second degré tu peux la résoudre pour connaître à quelle abscisse on a f''(x)=0. Il y a deux solutions qui s'écrivent sous la forme x=(-b +ou- racine(b^2-4ac))/2a. Tu as alors comme résultat 1 et 4. Quand tu as les zéros d'une fonction cela te délimite des domaines dans lesquels la fonction garde forcémetn un signe constant (sinon il y aurait un zero supplémentaire). Par exemple, ici pour f'' tu sais qu'elle a un certain signe sur l'intervalle ]-oo, 1[ un signe différent sur [1,4] (puisqu'elle passe par 0 en 1 et 4) et qu'elle change a nouveau de signe sur ]4, +oo[. Pour savoir quel est le signe sur chaque domaine tu n'a alors qu'à prendre une valeur quelconque pour x appartenant à l'intervalle qui t'intéresse. Si tu veux connaître le signe sur ]-oo, 1[ par exemple tu peux prendre x=0 et tu trouve f''(0)=24 donc tu as la preuve que f"" est toujours positive sur ]-oo, 1[. Tu fais de même pour les deux autres intervalles. f'' est par définition la dérivée de f' c'est à dire que si f''est positive, f' est croissante, et inversement, si f''est négative, f' est décroissante (tu peux le voir sur un dessin en te souvenant que la dérivée d'une fonction c'est la pente d'une droite tangente à la courbe de la fonction, une droite de pente négative est forcément tangente à une courbe qui descend aussi!). Tu peux donc maintenant direque f' est croissante sur ]-oo,1[, qu'elle change de direction sur ]1,4[ et qu'elle est à nouveau croissante sur ]4,+oo[.
Prenons l'intervalle ]-oo,1[ par exemple.Sur cet intervalle f' est croissante, donc si elle s'annule sur cet intervalle elle ne peut s'annuler qu'une fois (sinon il faudrait qu'elle redescende après avoir couper l'axe des abscisses). Et pour savoir si elle s'annule une fois ou pas, il suffit que tu regarde le signe qu'elle a à chaque extrémité de l'intervalle. En -oo f' tend vers -oo et en 1 f'(1)=12 > 0. Donc f' passe du signe négatif au signe positif sur l'intervalle donc elle s'annule forcément une fois. On appelle a le zéro de f' sur cet intervalle (f'(a)=0). Avec le même raisonnement tu peut prouver l'existence d'un unique zero de f' sur chacun des intervalles de variation de f'.
Pour avoir les valeurs exactes de a, b et c tu peux regarder le graphique sur ta calculette. L'intersection du graphe de la fonction f' avec l'axe des abscisses te donnera une valeur approximative autour de laquelle tu pourras définir un intervalle à + ou -10^-3 pres. par exemple b appartient à l'intervalle ]2.3935, 2.3945[.

Maintenant que tu connais les zéros de f' tu peux connaitre son signe sur chacun des intervalle délimité par a, b et c. Tu peux donc appliquer les mêmes raisonnements qu'avec f'' mais cette fois c'est le signe de f' qui va te dire comment varie f. Tu vas alors trouver que f possède deux minimum en a et c et un maximum en b. En calculant les valeurs de f en -oo, a, b, c et +oo tu verras qu'il n'y a que deux intervalle où f change de signe, donc qu'il n'y a que deux point alpha et beta où f s'annule.

Pour t'aider f(c) est négatif, et c est un minimum de f. alpha vaut 4.412.

Je t'ai donné tout ce qu'il faut pour faire entièrement l'exercice et une bonne partie des réponses mais lorsque tu veux une correction d'exercice complète je te conseille d'essayer de faire l'exercice, et de nous envoyer ce que tu as fait en demandant une correction d'exercice (c'est différent d'une simple question sur le site). On te corrigera alors entièrement l'exercice en te disant ce que tu as fait de bien et en t'aidant sur ce que tu n'auras pas su faire. Je pense que cela serait plus profitable pour toi que je sache ce que tu as su faire ou pas.

En tout cas bon courage et à bientôt.
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