Exercice avec les nombres complexes

Mathematiques > sujets expliqués - Question simple

	exercice avec les nombres comp revenir au plan			docs
		Bonjour, Je souhaiterais av(...)
		lorsque P est un polynome a co lire

lorsque P est un polynome a coefficients reels il est vrai que [p(z)]=p([z]) en choisissant de noter [z] le conjugue de z
cela necessite en effet de bien constater que [z^n]=[z]^n
pour cela on peut iterer la propriete [z*z']=[z]*[z'] ou donner les modules et arguments de [z^n] et [z]^n qui sont identiques.
alors en combinant les proprietes du cours [z+z']=[z]+[z'] et [az]=a[z] ,a reel,on obtient
notre resultat

pour la suite on note ai ,a reel,le nombre complexe imaginaire pur solution
on calcule p(ai) et on l'ecrit sous forme algebrique X+iY
le fait que X=0 conduit a une equation bicarree d'inconne a que l'on resout
on est conduit a deux couples de solution et on prend le couple pour lequel Y=0
(on trouve 2i et -2i)
p(z) est alors divisible par (z-2i)(z+2i)=(z^2+4)
on factorise p(z) par division ou identification

l'etude des variation de Q permet de montrer que Q admet une seule solution reelle et qu'elle est plus grande que 2
(c'est 3)
on factorise Q et l'on peut conclure l'exercice en resolvant une equation du second degre

Documents attachés :

aucun document joint.