Exercice avec les nombres complexes

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		Bonjour, Je souhaiterais av(...)
		lorsque P est un polynome a co lire

Bonjour,

Je souhaiterais avoir un peu d’aide pour cet exercice concernant les nombres complexes :

Z désigne un nombre complexe. On considère le polynôme :
P(z) = z^5 - 5z^4 + 12z^3 – 26z^2 + 32z – 24
On se propose de résoudre dans C l’équation (E) : P(z) = 0.
1) Démontrer que si z est solution de (E), z^barre (j’appelle z^barre le conjugé de z) est également solution.
2) Démontrer que (E) admet deux solutions imaginaires pures que l’on déterminera. En déduire qu’il existe un réel a tel que P(z) = (z^2+a).Q(z) où Q est un polynôme de degrès 3 que l’on déterminera.
3) Etudier la fonction numérique définie sur R par f(x) = Q(x). Démonter que Q admet une seule racine réelle que l’on déterminera.
4) Achever la résolution de (E).

Pour la première question, j’ai compris (enfin, je crois avoir compris) comment faire, mais je ne sais pas si ma démonstration est rigoureuse et bien rédigée, pourriez-vous vérifier et m’aider à mieux rédiger cette démontration ? :
P(z) peut s’écrire sous la forme du nombre complexe P(z) = X+iY donc si P(z) = 0 cela signifie que X=0 et Y=0, donc le conjugé de P(z) : (P(z))^barre = X-iY = 0.
Il faut donc montrer que P(z^barre) = (P(z))^barre :
J’utilise pour cela les propriétés du cours et je dis que :
P(z^barre) = (z^barre)^5 – 5(z^barre)^4 + 12(z^barre)^3 – 26(z^barre)^2 + 32z^barre – 24 = (z^5)^barre – 5(z^4)^barre + 12(z^3)^barre – 26(z^2)^barre + 32z^barre – 24
J’utilise ici la propriété z^barre fois z’^barre = (z fois z’)^barre donc si z = z’, (z^barre)^2 = (z^2)^barre, mais peut-on généraliser (z^barre)^n = (z^n)^barre ? et pourquoi ?
Puis-je déduire ensuite directement que P(z^barre) = (P(z))^barre, et pourquoi ?

Pour la deuxième question, je n’y arrive pas du tout, et à cause de cela, je suis bloquée pour tout le reste de l’exercice !
Pourriez-vous m’aider à résoudre la deuxième question, et me donner des pistes pour la suite ?
Merci beaucoup d’avance pour votre aide !

Astro.

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