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"maths seconde (théorème de thalès, droite des milieux, triangles de même forme)"

Mathematiques > sujets expliqués - Question simple
                
Bonjour !

Je me trouve ici dans une impasse;
en effet, la consigne de mon exercice concerne les propriétés de Thalès (théorème et réciproque), le théorème de la droite des milieux, ainsi que les triangles de même forme (propriété caractéristique, et théorèmes).

Construire un quadrilatère A’B’C’D’ tel que :
A’B’/AB = B’C’ /BC = C’D’/CD = D’A’/DA
Â=Â’ ; ^B=^B’ ; ^C=^C’ ; ^D=^D’
dont l’aire est égale à 4 fois l’aire de ABCD.

Je dois donc, à partir d’une figure donnée ABCD(quadrilatère convexe), construire son équivalent A’B’C’D’, et dont l’aire doit être égale à 4 fois l’aire de la figure originelleABCD ;
Les données présentes sur la figure sont :
^D=90°(donc angle droit), ^B=110°, et ^C=50°
AB=4, BC=5, DC=7

Comment dois-je m’y prendre ?
J’ai essayé de décomposer le quadrilatère ABCD en 2 triangles, afin d’utiliser la propriété qui précise que A’B’/AB=k, et donc que l’Aire A’B’C’D’= AireABCD * (k)2
Avec en plus la propriété disant que la somme des angles d’un qudrilatère convexe est égale à 360° ( on trouve donc Â=110°(=^B))
Cependant ces règles ne m’avancent guère.
J’ai également essayé de résoudre ce problème en rapportant 4 fois chaque segment ; ceci dit, le quadrilatère A’B’C’D’ ne fait pas alors 4 fois l’aire de ABCD.



De plus, dans un autre exercice, portant également sur la leçon du théorème de Thalès et des triangles de même forme, il m’est impossible de répondre à la question 2 ; en effet, il me manque au moins une donnée.
On se trouve donc en présence d’une figure comportant un triangle, AFB, avec  angle droit; l’angle A^BG est un angle droit, et BG= 2. GE coupe FA en E, sachant que AE=1. De plus, GE coupe aussi FB en I.
On a donc les mesures suivantes :
AE=1, AF=4; AB=5, BG=2.
Les droites (AF) et (BG) sont perpendiculaires à (AB). Les droites (EG) et (BF) se coupent en I.

1) Montrer que les deux triangles EIF et IGB ont la même forme.
Ma réponse :
On sait que I appartient à (EG), et que I appartient à (BF); de plus, (AF)//(BG), puisque (AF) et (BG) sont perpendiculaires à une même droite (AB).
Or, selon le théorème de Thalès, si (AF)//(BG), soit (EF)//(BG), puisque E appartient à (AF),
alors, BG/EF = IB/IF = IG/IE.
Les triangles IGB et IEF ont donc leurs côtés proportionnels deux à deux.
Or, selon la réciproque de la propriété des triangles de même forme, si deux triangles ont leurs côtés proportionnels deux à deux, ils ont la même forme.
IGB et IEF sont donc des triangles de même forme.

2) On appelle H le projeté orthogonal de I sur [AB]. Calculer HA/HB. En déduire HA et HB.
Voici donc la question qui me pose problème; après l’avoir retourné dans tous les sens, il me manque toujours une mesure. La seule perspective possible que j’aie trouvé pour calculer HA et HB est de calculer d’abord IH, dans le triangle JGB. Cependant, le triangle JGB n’est pas censé exister, puisqu’on me demande de le construire dans la question suivante ;

3) Les droites (GE) et (AB) se coupent en J. Calculer JA et JB.
Ma réponse :
On sait que (AF)//(GB).
Or, E appartient à (AF), donc (EF)//(GB).
On a E appartenant à (JG), A appartenant à (JB) ;
Selon le théorème de Thalès, si (AE)//(BG), alors
AE/BG = EG/JG = AB/JB, soit 1/2 = EG/JG = 5/JB.
Ainsi, on a en particulier : 1/2 = 5/JB.
JB = 5* (2/1) = 10.
[JB] est donc égal à 10.
Or, puisque [AB] = 5, et que A appartient à (JB), on a
[JA] = JB - AB = 10-5 = 5.
[JA] est donc égal à 5 ( Par ailleurs, on peut en déduire : [JA] = [AB], donc A est le milieu de [JB] ).

À partir de ces éléments, comment peut-on donc résoudre la question 2 ) ?

Je vous remercie à l’avance de me répondre,
Bon courage,
Nor@ "
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