en une : Le raisonnement par récurrence

Exercice 42 page 151 des annales bac tes 2009

Mathematiques > sujets expliqués - 26/03/2009 - correction
                
1) pour déterminer la limite de f en $-\infty $ il suffit de se servir des limites usuelles.

On sait que :

$\lim_{x\to -\infty }e^{x}=0$

D'où :

$\lim_{x\to -\infty } f(x) = \lim_{x\to -\infty } \frac{3}{2}e^{2x} - e^x-2x-4 = \lim_{x\to -\infty }-2x-4=\infty$

Pour montrer que g(x) s'annule en ln(2/3), il suffit de calculer g(ln(2/3)) et de se souvenir que $e^{ln(\frac{2}{3})}=\frac{2}{3}$.

Pour étudier le signe de g il faut remarquer que g est déjà factorisée. Si ce n'était pas le cas où si la fonction g était plus compliquée on peut suivre les étapes suivantes (c'est lourd mais marche tout le temps) :

- calculer g'
- étudier le signe de g'
- calculer les limites de g aux bornes de son intervalle de définition
- en déduire le signe de g

Ici c'est plus simple :
$g(x)=e^x(\frac{3}{2}e^x-1)$ or on sait que $e^x > 0 \forall x\in \mathbb{R} $ ainsi le signe de g ne dépend que de $\frac{3}{2} e^x -1$ qui est négatif de $-\infty $ à $ln(\frac{2}{3})$ et positif ensuite.

On a le signe de g.

Pour montrer que f(x)-(-2x-4)=g(x) il suffit de calculer f(x)-(-2x-4) et mettre e^x en facteur.

b) Pour montrer que la droite d'équation y=-2x-4 est asymptote à (c) en -infini, il faut montrer que $\lim_{x\to -\infty } f(x)-(-2x-4) = 0$ ce qui revient à calculer la limite de g et est un calcul similaire à celui de la première limite.

4) Pour factoriser f' deux solutions sont possibles :

On connait le résultat, on peut donc écrire
$(3e^x+2)(e^x-1)=3e^{2x}-3e^x+2e^x-2=3e^{2x}-e^x-2=f'(x)$

Ou sinon chercher les racines du polynôme $3x^2-x-2$ le factoriser et en déduire le résultat sur f'.

Pour le signe de f' maintenant qu'elle est factorisée il s'agit d'un raisonnement similaire à la question 1)

Bon courage !
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