en une : Le raisonnement par récurrence

Vecteurs

Mathematiques > sujets expliqués - 23/03/2009 - correction
                
Bonsoir,

regardes de préférence le fichier pdf joint (j'y ai mis des figures pour illustrer).

Si jamais tu n'arrives pas à le lire, je copie quand même en texte brut le contenu de ma réponse ci après.

J'espère que ça t'aidera, bon courage pour la suite !

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Exercice 3:

Soit(O;i,j) un repère orthonormal. On considère les points I (1;0) , J 0;1) et K(1;1) ainsi que les points P,Q, R et S définis par:
vecteur OP= ¾ vecteurOI ; vecteur IQ=3/4vecteur IK ; vecteur KR= 3/4 vecteur KJ et vecteur JS= 3/4 vecteur JO.

1) Déterminer les coordonnées des points P,Q,R,S.
2) Montrer que:

a) vecteur PQ= vecteur SR ;
b)vecteur PQ= vecteur PS ;
c) le triangle PQS est rectangle.
3)Déduire de la question 2 la nature du quadrilatère PQRS.

Tout d’abord, plaçons les points donnés par l’énoncé sur une figure :

Pour calculer les positions de ces points, c’est facile. Par exemple :
Pour I, on a (OP) ⃗=3/4 (OI) ⃗, d’où on en déduit que P est sur la droite (OI) et à une distance ¾ du point O.
Pour S, on a (JS) ⃗=3/4 (JO) ⃗, d’où S est sur la droite (JO) et comme ‖(JO) ⃗ ‖=1 on sait que la distance entre J et S est de ¾ et que S est entre J et O.
Une autre façon de voir les choses est de se ramener à chaque fois à l’origine pour obtenir les coordonnées des différents points.
Par exemple pour S on peut appliquer la relation de Chasles et écrire :
(OS) ⃗=(OJ) ⃗+(JS) ⃗=(OJ) ⃗-3/4 (OJ) ⃗=1/4 (OJ) ⃗ ce qui permet d’en déduire les coordonnées de S (0,1/4).

Remarque : La relation de Chasles est LA relation à savoir. Bien sur les autres sont utiles, mais saches que celle là reviens très fréquemment. Penses à t’en servir si tu ne sais pas où aller !

Pour ce qui est de cette question, il suffit de se servir (une fois de plus) de la relation de Chasles :
(PQ) ⃗=(PO) ⃗+(OQ) ⃗=-(OP) ⃗+(OQ) ⃗
Il suffit donc de faire la soustraction des coordonnées de Q et P pour trouver celles du vecteur (PQ) ⃗.
Une fois que l’on a renouvelé l’opération pour les quatre vecteurs, on trouve que leurs normes sont égales et que (PQ) ⃗⊥ (PS) ⃗ (ce qui semble être en contradiction avec l’énoncé, à vérifier mais d’après ces données je ne vois pas comment il pourrait en être autrement.)
On en déduit donc la réponse à la question c), puisqu’on a trouvé que le triangle PQS est rectangle en P.

Il suffit de reprendre les vecteurs de la question deux pour voir qu’ils ont même norme, et
que certains d’entre eux sont orthogonaux ce qui conduit au fait que le quadrilatère PQRS est un carré.

Exercice 4:

Dans un triangle ABC, on note I le milieu de [BC]. On considère les points D et E définis par vecteur CD= 1/2 vecteur AB et vecteur BE= 1/2 vecteur AC ; soit J le milieu de [ DE]. On prend ( A ; vecteur AB ; vecteur AC ) comme repère du plan.

2) Montrer que vecteur AI = 2/3 vecteur AJ. Qu'en déduit-on pour I relativement au triangle ADE ?

J'ai réussi à faire les autres exos mais là je bloque complètement sur l'exo 3 surtout. J'ai juste un problème de méthode, je n'arrive pas à expliquer le cours sur cet exo justement.
Merci d'avance pour vos réponses apportées.

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Là encore, il ne s’agit que d’appliquer cette fameuse relation de Chasles (donc vraiment, pense à l’essayer !)
Une petite figure pour mieux comprendre :


Et en avant pour appliquer la relation de Chasles et essayer de faire apparaître l’égalité demandée.
En effet tu as d’une part :
(AI) ⃗=(AB) ⃗+(BI) ⃗=(AB) ⃗+1/2 (BC) ⃗=(AB) ⃗+1/2 (BA) ⃗+1/2 (AC) ⃗=1/2 ((AB) ⃗+(AC) ⃗ )

Et d’autre part :
(AJ) ⃗=(AB) ⃗+1/2 (AC) ⃗+1/2 (ED) ⃗
= (AB) ⃗+1/2 (AC) ⃗+1/2 (EA) ⃗+1/2 (AD) ⃗
= (AB) ⃗+1/2 (AC) ⃗+1/2 ((AC) ⃗+1/2 (AB) ⃗ )-1/2 ((AB) ⃗+1/2 (AC) ⃗ )
= (AB) ⃗+1/2 (AC) ⃗+1/2 (AC) ⃗+1/4 (AD) ⃗-1/2 (AB) ⃗-1/4 (AC) ⃗
= (AB) ⃗(1+1/4-1/2)+(AC) ⃗(1/2+1/2-1/4)
=3/4 ((AB) ⃗+(AC) ⃗ )=3/2 (1/2 ((AB) ⃗+(AC) ⃗ ) )=3/2 (AI) ⃗
Et voilà qui est fait !
Un conseil : essaye de toujours faire une figure, au moins au brouillon. Cela te permettra de mieux guider tes calculs notamment lorsque tu dois, comme ici, utiliser la relation de Chasles de façon répétée.
Si tu appliques les quelques conseils que je t’ai donné, tu ne devrais plus avoir d’ennuis ou de blocages avec ce type d’exercices. Rappelle toi toujours que la solution demandée est simple, il suffit d’appliquer deux trois recettes déjà vues. Si tu bloques, essayes en une en écrivant au brouillon les calculs. En effet, tu peux avoir l’impression que ça n’arrivera à rien mais en écrivant tu peux t’apercevoir qu’en fait tu arrives au résultat.

Bon courage pour la suite !
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