en une : Le raisonnement par récurrence

Probleme d'exercice

Mathematiques > sujets expliqués - 18/06/2008 - correction
                
Bonsoir!
Tout d'abord, ce qu'il est bien de faire, au brouillon, pour mieux voir ce qui se passe, c'est de ne pas prendre le tétraèdre de manière quelconque, mais de le prendre tel que le repère (A; AB,AC,AD) orthonormé direct (en somme, AB sera le "i" habituel, AC sera "j" et AD sera "k")
(NB : AB signifie "vecteur AB", pareil pour AC, ...)

Les coordonnées de A sont bien sûr (0,0,0), celles de B sont (1,0,0), etc...

Pour la représentation paramétrique de (DJ) : cette droite est l'ensemble des points de la forme D+t*DJ, où t décrit l'ensemble des réels.
Il suffit donc de calculer, pour t réel, les coordonnées de D+t*DJ.
Grâce à Chasle, qu'il faut souvent utiliser dans ce problème, on a : DJ=DA+AI+IJ=DA+1/2.AB+1/2.IB
et IB=IA+AB, de coordonnées (0,-1/2,0)+(1,0,0)=(1,-1/2,0).
Ainsi les coordonnées du vecteur DJ sont : (0,0,-1)+(0,1/2,0)+(1/2,-1/4,0)=(1/2,1/4,-1).
Donc la droite (DJ) est l'ensemble des (t/2,t/4,-t+1), t parcourant l'ensemble des réels.
On fait de même pour la droite (BK), de représentation : {(1-s,s/5,3s/5) / s réel}.

Pour avoir l'intersection des deux droites, il faut d'abord résoudre : (1-s,s/5,3s/5)=(t/2,t/4,1-t), d'inconnues s et t.
On trouve t=4/7, s=5/7, (donc il y a bien une solution et une seule, ce qui montre que les droites sont bien sécantes et non confondues), et le point d'intersection est E(2/7,1/7,3/7).

Si E est le barycentre de (A,1),...,(D,d), alors pour tout point M, rappelle toi qu'on a la relation :
(1+b+c+d)ME=1.MA+b.MB+c.MC+d.MD.
Devine en quel point on va appliquer cela? En A!
Ainsi bien sûr, b=2,c=1 et d=3.

Par associativité du barycentre (ou barycentre partiel, je ne sais pas comment tu appelles cela), E est alors aussi barycentre de (A,1) et (L,2+1+3), donc E est sur la droite (AL). C'est bien ce qu'on voulait.

Bon courage!
Documents attachés :    aucun document joint.