en une : Le raisonnement par récurrence

Limites urgent !

Mathematiques > sujets expliqués - 17/02/2008 - Question de cours
                
Bonjour,

Voici donc quelques éléments pour faire cet exercice :

1) pour la récurrence, il faut commencer par l’initialisation : pour n=1, on obtient bien 1 avec les deux formules.
Pour le membre de gauche c’est évident ; pour celui de droite, en remplaçant n par 1, vous tombez sur (x²-2x+1)/(x-1)², ce qui donne bien 1, d’après les identités remarquables de base (on remplace bien n et x reste un paramètre, car la récurrence se fait sur n).
Pour la récurrence proprement dite, on suppose la propriété vraie au rang n et on tente alors de la montrer au rang n+1. Pour cela, on calcule 1 + … + nx^(n-1) + (n+1)x^n (rang n+1) : on se sert de l’hypothèse au rang n et on obtient alors (nx^(n+1)-(n+1)x^n+1))/(x-1)² + (n+1)x^n. Il suffit alors de tout mettre sur le même dénominateur (x-1)². On a déjà le dénominateur et on calcule alors le numérateur : on factorise notamment par (n+1)x^n qui est facteur de (x-1)²-1 = x(x-2), puis on réarrange ces facteurs, et on obtient finalement bien nx^(n+1) +1+(n+1)x^(n+2)-2(n+1)x^(n+1) = (n+1)x^(n+2)-(n+2)x^(n+1)+1. Et la propriété est vérifiée au rang n+1.

2) pour trouver la limite quand x tend vers 1, on se sert de l’autre écriture de l’expression que l’on vient de démontrer, soit limite quand x tend vers 1 de 1 + … + nx^(n-1). Cette limite vaut 1 + 2 +3 +…+n, soit la somme des n premiers entiers de 1 à n, somme vous le savez qui vaut n(n+1)/2, d’où cette limite.

3) Là aussi, on se sert de cette double écriture de la même expression : on remplace l’expression somme par l’expression quotient et on remarque que l’on est dans le cas particulier où x = 2.
D’où u^n = (n.2^(n+1) – (n+1).2^n +1)/(2-1)² : le dénominateur vaut 1, d’où u^n = n.2^(n+1) – (n+1).2^n +1.

4) pour la dernière question, je suppose qu’il s’agit de la limite quand n tend vers l’infini et non x (c’est une suite et x a disparu puisqu’on étudie x=2 en fait ici).
On calcule alors u^n/n2^n = 2 – (n+1)/n + 1/(n2^n).
Quand n tend vers l’infini, 1/(n2^n) tend vers 0 car le dénominateur tend vers l’infini (car n et 2^n tendent eux-mêmes vers l’infini) ; (n+1)/n tend vers 1 (soit on regarde les monômes de plus haut degré soit l’on écrit cette expression sous la forme 1 + 1/n qui tend bien vers 1 à l’infini).
La limite est donc une somme de limites : 2 – 1 + 0 = 1.
La limite de cette nouvelle suite est 1.

J’espère que cet exercice est désormais plus clair. La clef est en fait d’utiliser les deux expressions dans tous les sens, l’une à la place de l’autre et de chercher à les intégrer dans les nouvelles expressions introduites par le texte (souvent des cas particuliers des expressions de départ). Ensuite, il s’agit d’un peu de technique de récurrence et de calcul de limite, ou calcul tout court.

Bonne continuation.
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