Les complexes

Mathematiques > sujets expliqués - 11/05/2007 - correction

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		on me demande de determiner le lire
		1 |z| = |2a+i(1-a^2)| = (4*a lire

1
|z| = |2a+i(1-a^2)|
= (4*a^2 + (1-a^2)^2) ^ 1/2
= (1 + 2*a^2 + a^4) ^ 1/2
= 1 + a^2

tan (arg(z)) = 2a/(1-a^2) (faire un dessin dans le plan complexe, tan = cote adjacent/cote oppose)
arg(z) = arctan (2a/(1-a^2))

2
|z^4|= |(1-i)|/|(1+i3^1/2)|

|1-i| = 2^ (1/2)
|1+i3^1/2|= 2

donc |z^4|= 1/(2^(1/2)) (ie : un sur racine de 2)
finalement |z| = 1/(2^1/8)

arg(z) = arg(1-i) - arg(1+i3^1/2)
arg(1-i)= -pi/4 (classique)
arg(1+i3^1/2) = pi/3 (classique)

d'ou arg(z) = -7*pi/12

3
on sait que |z|=|1/z|=1/|z|
donc |z|^2 = 1, donc |z|=1

on pose z = a + ib, a et b reels
|z| = (a^2 + b^2)^1/2
|1-z| = ((1-a)^2 + b^2)^1/2

on en deduit a^2 = (1-a)^2, puis 1-a = a

a=1/2

on connait le module, on trouve donc b = (3^1/2)/2

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