en une : Sujet : causes de la crise de 1929

Probleme avec les matrice

Mathematiques > sujets expliqués - Question simple
                
Bonjour Anthony,

Tu as très bien commencé l’exercice car il est très difficile de partir du terme de gauche. L’inverse d’une somme de matrice est compliquée à développer. Tu as juste manqué un peu de méthode dans tes calculs sur le terme de droite, et c’est pour cela que tu te retrouves dans une impasse. Il faut d’accord essayer de simplifier la deuxième partie de la somme en développant. C’est ce que tu as commencé à faire. On obtient :
A^(-1) + [AB^(-1) D^(-1) C^(-1)A – A B^(-1)C A^(-1)B C^(-1)A ]^(-1)
Or la matrice B^(-1)C A^(-1) est l’inverse de la matrice B C^(-1)A, leur produit est donc égal à l’identité et par conséquent l’expression devient :
A^(-1) + [AB^(-1) D^(-1) C^(-1)A – A ]^(-1)
On peut factoriser par A dans le crochet :
A^(-1) + [(AB^(-1) D^(-1) C^(-1) – I)A ]^(-1)
A ce stade on voit que l’expression cherchée est presque écrite dans la parenthèse la plus interne. Il faut pour cela multiplier à l’intérieur de la parenthèse par CDB à droite ce qui revient à multiplier par C^(-1)D^(-1)B^(-1) à l’extérieur de la parenthèse. Pour avoir le droit de le faire il faut aussi multiplier par CDB à l’extérieur de la parenthèse car dans ce cas cela revient à multiplier par l’identité ce que l’on a toujours le droit de faire. On obtient alors :
A^(-1) + [(A – CDB)A ]^(-1)CDB
A chaque étape du calcul il faut toujours garder en tête l’objectif que tu as qui est de faire apparaître l’expression de gauche. Le seul moyen d’y arriver est de parvenir à factoriser par cette expression et de montrer qu le reste vaut l’identité. C’est exactement ce que l’on fait maintenant en factorisant tout par (A-CDB)^(-1). Pour avoir el droit de le faire, il faut nécessairement multiplier le premier terme par la matrice inverse, toujours pour multiplier en fait par la matrice identité. On obtient :
[A^(-1) (A-CDB) + A^(-1)CDB ] (A-CDB)^(-1)
Il suffit maintenant de développer le crochet et on arrive à
[A^(-1)A] (A-CDB)^(-1)
d’où
(A-CDB)^(-1)
Il n’y a plus qu’à justifier que l’on a le droit d’écrire CDB = BCD et tu retrouves bien le terme de gauche.

Lorsque tu doit prouver une égalité comme celle-ci il faut que tu arrives à faire apparaître l’expression recherchée le plus vite possible et ensuite voir comment tu peux supprimer les termes restant.
Voilà Anthony, j’espère que cela t’aidera.

A Bientôt.
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