en une : Le raisonnement par récurrence

Urgent pour le 26-05-2005

Mathematiques > sujets expliqués - Question simple
                
Bonjour Théry,

Pour calculer une asymptote oblique il faut toujours se débrouiller pour faire apparaître une équation de droite dans l’expression de la fonction et voir si la partie restante de l’expression peut tendre vers 0 ou pas. En le disant comme ca cela peut paraître nébuleux. Je vais donc commencer par te faire un petit rappel sur les informations que peut te donner la dérivée avant de te donner un exemple de calcul d’asymptote.

Une asymptote est une droite vers laquelle la fonction tend. C'est-à-dire que plus x va se rapprocher de la limité étudiée, plus la fonction sera presque égale à la droite « asymptote ». Pour trouver une asymptote d’une fonction il faut donc regarder comment évolue la fonction au voisinage de la limite recherchée. Or l’outil qui permet de savoir comment évolue une fonction c’est la dérivée. La dérivée va te donner en tout point de la fonction la valeur de la pente de la droite tangente à la fonction. Si la fonction tend vers une asymptote alors cela signifie que la fonction va tendre vers une droite qui lui sera tangente, c'est-à-dire vers une droite dont la pente est égale à sa dérivée.
Pour une asymptote oblique c’est pareil. La fonction tend vers une droite avec une pente non nulle et cette pente sera égale à la limite de la dérivée de la fonction.
Si on prend l’exemple de la fonction f(x) = 1/x + x + 5
La dérivée de cette fonction s’écrit f ’(x) = -1/x^2 + 1
Quand x tend vers + l’infini (je noterai dans la suite + oo ) f ‘ (x) tend vers 1. Donc la dérivée a une limite finie quand x tend vers +oo ce qui signifie que la fonction finit par avoir une pente quasi constante, donc qu’elle finit par se comporter comme une droite.

Maintenant comment peux-tu calculer une asymptote ? Prenons l’exemple de la fonction
f(x) = (2x^2 –x - 1) / (x-2)
Pour prouver que cette fonction admet une asymptote oblique en +oo il faut réussir à faire apparaître l’expression d’une fonction affine (droite) dans l’expression de f(x). Pour cela il faut toujours que tu essayes de factoriser la fonction par x (ou une expression du type ax + b) car c’est comme cela que tu pourras faire apparaître l’équation d’une droite. Ici tu as un dénominateur égal à une fonction affine donc il faut essayer de l’utiliser. Essayons de factoriser f(x) par x-2. on obtient :
f(x) = 2x + 3 + 5/(x-2)
tu vois que lorsque x tend vers +oo le dernier terme 5/(x-2) tend vers 0 donc tu peux définir la droite d’équation g(x) = 2x + 3 et écrire que
f(x) – g(x) = 5/(x-2) tend vers 0 quand x tend vers +oo. Cela signifie que plus x est grand, plus la fonction f se rapproche de la droite g. On a alors prouvé que g(x) est une asymptote oblique pour la fonction f.

Voilà théry j’espère que cela pourra t’aider.

A bientôt.
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