en une : Sujet : causes de la crise de 1929

Les tangentes,

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Bonjour Maïté,

La dérivée de f que tu as calculé est juste mais tu l’as écrite sous une forme avec laquelle il est plus difficile de travailler car elle n’est pas factorisée. Sous forme factorisée, il est beaucoup plus facile de trouver le signe de la dérivée par exemple. Pour factoriser ton expression tu dois mettre les deux termes au même dénominateur et tu obtiens alors :
f’(x) = [(x-2)^2 – 4] / [4(x-2)^2]
Pour que ce soit utile il faut factoriser au maximum le numérateur. On trouve alors
f’(x) = x(x-4) / [4(x-2)^2]
Sous cette forme la dérivée est totalement factorisé et on voit tout de suite que le signe de la dérivée dépend du produit x(x-4) donc qu’il y a changement de signe en 0 et en 4. Cela ne correspond pas à l’expression que tu me donnes dans ta question, il y a donc soit une faute de frappe dans l’expression de la fonction f que tu me donnes, soit il y a une erreur dans l’expression que l’on te demande de trouver pour f’. Je crois qu’il y a une erreur dans l’expression demandée pour f’ car telle que tu me l’as donné elle peut se simplifier par (x-1) et il ne resterait alors plus que (x-3)/4(x-1)
Pour l’équation de la tangente en 4 il faut que tu détermines l’équation y = ax + b c'est-à-dire que tu dois calculer deux choses :
- le coefficient directeur a de la tangente qui est donné par la valeur de la dérivé pour x = 4
- l’ordonnée à l’origine b de la tangente que tu peux calculer à partir de la valeur de la fonction elle-même pour x = 4
Si je prends l’expression de la dérivée que je t’ai donné tu vois très vite que x=4 est une des deux valeurs de x qui annule la dérivée. C'est-à-dire que a = 0 donc que la tangente à la courbe de f en 4 est une tangente horizontale (droite parallèle à l’axe des abscisses).
Pour l’ordonnée à l’origine b il faut que tu utilises le fait que par définition la tangente à une courbe est égale à la valeur de la courbe au point où elle est tangente ! c'est-à-dire que pour x=4 la fonction et sa tangente doivent être égales toutes les deux à la même valeur. Tu dois donc résoudre l’équation :
ax + b = f(x) pour x = 4 c'est-à-dire 4a + b = f(4) mais comme tu sais déjà que a = 0 il reste finalement b = f(4) = 3/2
la tangente à f en 4 a donc pour équation y = 3/2

Enfin pour déterminer les coordonnées des points où la tangente est parallèle à la droite y = x+4 tu as eu un très bon réflexe en cherchant quel point donnait une valeur de la dérivée égale au coefficient directeur de cette droite c'est-à-dire 1. Cependant tu as confondu deux choses ; l’équation de la tangente pour x = 4 n’est pas la même chose que l’équation de la tangente pour toute autre valeur de x. En x = 4 on vient de voir que la tangente avait un coefficient directeur égal à 0 mais cela ne veut pas dire qu’il est forcément nul partout ailleurs. Ici tu dois d’abord trouver pour quelle valeur de x tu as lé dérivée de f qui vaut 1. Tu dois donc résoudre l’équation du second degré :
f’(x) = x(x-4) / [4(x-2)^2] = 1 qui peut se réécrire x(x-4) = 4(x-2)^2
en développant tu auras simplement une équation du second degré. Les solutions de cette équation te donnent les abscisses des points que tu cherches puisque ce sont les valeurs de x pour lesquelles la dérivée de f est égale au coefficient directeur de la droite x+4 (c'est-à-dire que la tangente à f est bien parallèle à la droite)
Il ne te reste plus alors qu’à calculer la valeur de f pour ces deux valeurs de x pour obtenir l’ordonnée des points recherchés.

Voilà Maïté, j’espère que ces informations t’aideront à résoudre ton exercice. En tout cas il y a manifestement une erreur dans les expressions que tu nous as envoyées alors si par hasard tu avais un autre problème n’hésite surtout pas à nous recontacter.

A bientôt.
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