en une : Le raisonnement par récurrence

Droites remarquables du triangle

Mathematiques > sujets expliqués - Question simple
                
Bonjour Robin,

Tu as très bien démarré l’exercice car il faut effectivement utiliser les relations de proportionnalité données par le théorème de Thalès pour pouvoir calculer NP, PR et SR. Pou faire cela, au niveau de la rédaction il faut bien que tu penses à justifier que tu peux appliquer le théorème de Thalès aux triangles MPS et NPR qui sont homothétiques car ils ont deux cotés commun PM et PS et que NR et MS sont parallèles (car MNAT est un carré). Une fois que tu as écrit cette justification tu peux effectivement écrire
PR/PS = PN/PM = NR/MS = 1/3
Tu dois calculer PN et ce qui te gêne c’est de ne pas connaître PM. Dans ce cas, le moyen le plus simple de s’en sortir c’est d’écrire PM en fonction de PN car tu te retrouvera alors avec une équation dans laquelle la seule inconnue sera PN, c'est-à-dire ce que tu cherches à calculer. Le point N appartient au segment [PM] donc tu peux écrire que PN + NM = PM. Or NM c’est un des cotés du carré MNAT donc tu sais qu’il mesure 8cm. Donc tu peux écrire PM = PN + 8
L’équation que tu avais écrite devient alors
PN/(PN+8) = 1/3
En résolvant cette équation tu arrives à PN = 4 cm
Ensuite tu peux par exemple utiliser le théorème de pythagore dans le triangle PNR qui est rectangle en N (tu le justifies en utilisant le fait que NA est parallèle à MT dans le carré MNAT…). Tu dois alors avoir :
PN^2 + NR^2 = PR^2
Tu connais PN et NR donc tu en déduis que PR est égal à racine(20)
Enfin tu utilises à nouveaux l’expression que tu avais écrite pour trouver PS et avec la valeur de PS tu en déduis celle de RS car PR + RS = PS

Pour la deuxième question tu dois savoir que le centre du cercle circonscrit à un triangle a pour centre le point d’intersection des médiatrices des cotés du triangle. Mais dans un triangle rectangle, les médiatrices se coupent au milieu de l’hypoténuse (si tu n’as pas ce théorème dans ton cours tu peux facilement le redémontrer en utilisant le théorème de Thalès : je te donne cette démonstration en fin de réponse). Sachant cela tu sais donc que le centre du cercle circonscrit est au millieu de PS. Comme tu connais la valeur de PS avec la première question, le rayon du cercle vaut PS/2

Voilà Robin, j’espère que cela t’aidera.

A bientôt.

Démonstration du fait que le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le milieu de l’hypothénuse :
soit le triangle PMS rectangle en M. Soit I le milieu de MS et J l’intersection de la médiatrice d eMS avec PS. La droite (IJ) est parallèle à (MP) car toutes deux perpendiculaires à (MS).On peut appliquer Thalès aux triangles SIJ et SMP et comme I est le milieu de [SM] alors on trouve que IJ = 1/2.PM Soit K l’intersection de la perpendiculaire à (PM) passant par J. On a alors MIJK qui est un rectangle et par conséquent la droite (KJ) est uen droite passant par le milieu de [PM] et perpendiculaire à [PM]. C’est donc la médiatrice de [PM]. Donc les médiatrices des cotés du triangle PMS se coupent en J qui est le milieu de l’hypothénuse PS
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