en une : Le raisonnement par récurrence

Factorisation

Mathematiques > sujets expliqués - Question simple
                
Bonjour Karim,

Pour ce genre d’exercice il est essentiel que tu connaisses parfaitement les identités remarquables. Je te rappelle les trois principales :
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
a^2-b^2 = (a-b)(a+b)
Il faut absolument que tu maîtrises ces relations, c'est-à-dire que tu sois capable de les reconnaître dans une expression dans un sens où dans l’autre selon que tu souhaite factoriser ou développer ton expression.
En l’occurrence tu dois factoriser p(x). P(x) est sous la forme de la différence de deux termes. Pour factoriser tu vas donc devoir trouver un facteur multiplicatif commun dans les deux termes. Il faut alors que tu cherches si tu reconnais une identité remarquable d’abord dans le premier terme. (x^2-4)^2 ? A l’intérieur de la parenthèse tu dois reconnaître que x^2-4 c’est une différence de deux carrés c'est-à-dire qu’il s’agit de quelque chose de la forme a^2-b^2 avec a=x et b=2 (car 2^2=4) donc tu sais que le premier terme est égal à (a-b)(a+b) c'est-à-dire ici à [(x-2)(x+2)]^2
Tu vois alors tout de suite que tu peux factoriser p(x) par (x+2)^2. On obtient alors :
P(x) = [(x-2)^2-1](x+2)^2
Ecrit comme cela, p(x) est déjà sous une forme factorisée puisqu’il est écrit comme le produit de deux termes. Cependant tu peux encore pousser la factorisation plus loi en factorisant le premier terme de l’expression lui-même. En effet [(x-2)^2-1] c’est encore une expression de la forme a^2-b^2 avec a =(x-2) et b=1 donc on peut finalement écrire
P(x) = (x-2-1)(x-2+1)(x+2)^2
Ce qui se simplifie en :
P(x) = (x-3)(x-1)(x+2)^2
C’est le forme factorisée de p(x)
Tu vois donc que à toutes les étapes du calcul il est essentiel que tu aies le réflexe de voir les identités remarquables. Pour être capable de faire cela il faut que tu les aies parfaitement en tête.

Voilà Karim, j’espère que cela t’aidera.

A bientôt.
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