Rapport et comparaison des aires

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		Bonjour, Je suis demandeur d'(...)
		On demande un rapport et non l lire

On demande un rapport et non l’aire de A’B’C’ directement. Cela suggère qu’il faut arriver à exprimer la S(A’B’C’) en fonction de la S(ABC).
Pour cela, il est nécessaire de définir d’autres termes :

Soit hb la hauteur issue de B dans le triangle ABC
Soit hc la hauteur issue de C dans le triangle ABC
Soit ha la hauteur issue de A dans le triangle ABC
Soit ha’ la hauteur issue de A’ dans le triangle AA’C’
Soit hb’ la hauteur issue de B’ dans le triangle BB’A’
Soit hc’ la hauteur issue de C’ dans le triangle CC’B’

On a S(ABC) = (BC.ha)/2 = (AC.hb)/2 =(AB.hc)/2

et S ( CC’B’) = (CB’. hc’)/2 avec CB’ = 3/4 CB
S ( BB’A’) = (BA’. hb’)/2 avec BA’ = 2/3 BA
S ( AA’C’) = (AC’. ha’)/2 avec AC’ = 4/5 AC

S(A’B’C’) = S (ABC) – ( S(CC’B’) + S(BB’A’) + S(AA’C’) )

= S (ABC) – ( (3/4 CB . hc’)/2 + (2/3 BA . hb’)/2 + (4/5AC . ha’)/2)

= S(ABC) – (3/8 CB . 1/5 ha + 2/6 BA . 1/4 hc + 4/10 AC . 1/3 hb)

= S(ABC) – (3/4 . 1/5 . (CB . ha / 2) + 2/12 (BA . hc/2) + 4/15 (AC.hb/2))

= S(ABC) – (3/20 S(ABC) + 2/12 S(ABC) + 4/15 S(ABC))

mettre S(ABC) en facteur
en déduire S(A’B’C’)/S(ABC)

CQFD

Bon courage pour la suite,
Anne

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