en une : Le lexique de français

Mnp triangle equilateral ,

Mathematiques > sujets expliqués - Question simple
                
Bonjour Simon,

Lorsque tu ne sais plus du tout comment faire face à un exercice il faut que tu prennes le temps de bien poser les choses, calmement. Tu dois toujours te demander précisément plusieurs questions et te forcer à y répondre :
D’abord, quelle est exactement la question que l’on me pose. Ici la première question consiste à démontrer que les 3 triangles AMP, BMN et CPN sont isométriques. (il ne faut surtout pas essayer de répondre à toutes les questions d’un exercice en même temps, il y a toujours un ordre logique aux questions. On s’occupera donc plus tard du fait que MNP est équilatéral)
La deuxième question que tu dois te poser c’est « que veut dire cette question ». Tu dois alors te souvenir des définitions de ton cours. Qu’est-ce que deux triangles isométriques ? Deux triangles sont isométriques lorsque l'un est l'image de l'autre par une isométrie (translation, rotation, symétrie ou plusieurs de ces transformations). Cette définition n’est pas très parlante alors tu dois te demander à ce moment là comment on peut démontrer que 2 triangles sont isométriques. Tu dois alors te souvenir de 3 propriétés de ton cours :
Propriété 1 : si 2 triangles ont leurs 3 côtés respectivement égaux, alors ces 2 triangles sont isométriques.
Propriété 2 : si 2 triangles ont un angle égal, compris entre 2 cotés respectivement égaux alors ils sont isométriques.
Propriété 3 : si 2 triangles ont un coté égal respectivement et 2 angles respectivement égaux, alors ces 2 triangles sont isométriques.

La question suivante que tu dois te poser est laquelle de ces trois propriétés va pouvoir s’appliquer dans mon cas particulier. A ce stade de ta réflexion tu dois lister toutes les informations que te donne l’énoncé.
L’énoncé te parle d’un triangle équilatéral ABC. Tu dois tout de suite penser que si ABC est équilatéral, par définition tu as l’égalité de ses trois coté : AB = BC = CA et tu as aussi l’égalité de ses 3 angles.
Une autre information que te donne l’énoncé c’est que AM = BN = CP. Pour bien voir ce que cela signifie, dès que tu as un problème de géométrie il est INDISPENSABLE que tu te fasses un dessin propre pour voir comment se positionnent les points et trouver des idées. Sur le dessin tu vas très vite voir que les trois triangles sur lesquels porte la question ont toujours 2 cotés et un angle commun avec le triangle ABC. Tu peux alors raisonnablement penser que c’est la propriété n°2 qui va te permettre de répondre à la question.
Comme les points M, N et P appartiennent respectivement aux cotés AB , BC, et CA tu sais alors que tu peux calculer les longueurs MB, NC, et PA. En effet tu as à chaque fois :
AM + MB = AB
BN + NC = BC
Et CP + PA = CA
Donc MB = AB – AM
NC = BC – BN
Et enfin PA = CA – CP
Pour comprendre ces calculs il est important que tu regardes toujours sur ton dessin à quoi cela correspond.
Comme tu sais d’après l’énoncé que AB = BC = CA (triangle ABC équilatéral) et que AM = BN = CP alors d’après les trois équations ci-dessus tu viens de prouver que on avait aussi les égalités MB = NC = PA
Donc finalement les triangles AMP, BMN et CPN ont chacun deux cotés égaux entre eux (c'est-à-dire que le coté AM de AMP est égal au coté BN de BNM et au coté CP de CPN et que le coté PA de AMP est égal au coté MP de BMN et NC de CPN) et ils ont aussi un angle égal puisque ils ont tous les trois un angle commun avec le triangle ABC et que les trois angles du triangle ABC sont égaux. Les 3 triangles AMP, BMN et CPN vérifient donc les conditions de la propriété n°2 ci-dessus. Tu as donc prouvé ainsi que ces trosi traingles sont isométriques d’après la propriété 2.

Dans la deuxième question on te demande de prouver que MNP est équilatéral. Quelle est la définition d’un triangle équilatéral ? C’est qu’il a ses trois cotés égaux. Tu dois donc prouver que MN, NP et PM sont égaux. Tu viens de démontrer à la question précédente que les triangles AMP, BMN et CPN étaient isométriques. Tu dois utiliser cette nouvelle information. Ces 3 triangles étant isométriques tu sais désormais que leurs trois cotés sont égaux deux à deux (c’est ce que dit la propriété n°1). Tu savais déjà que AM = BN = CP (ca c’est l’énoncé) et que PA = MB = NC (ca tu l’as démontré dans la question précédente) donc les trois triangles étant isométriques tu en déduis que tu as aussi MP = MN = NP et donc que le triangle MNP est équilatéral.

Voilà Simon, j’espère que cela t’aidera et surtout ne panique pas devant un énoncé de mathématique. Prend les choses calmement et pose bien tout ce que l’énoncé te donne pour voir comment tu peux utiliser ces informations pour démontrer ce que l’on te demande.

A bientôt Simon.
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