en une : Sujet : causes de la crise de 1929

Devoir maison très difficile

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Bonjour Bénédicte,

Je crois avoir compris la figure mais je pense que tu as confondu le point B avec le point D dans la formule que tu me donnes car tu me dis que F appartient à DC. Dans ce cas le triangle dont on peut facilement calculer l’aire c’est le triangle AFD et il faut ensuite calculer l’aire de HFD. Pour être sur que l’on parle bien de la même chose je vais te dire comment j’ai tracé la figure avant de te donner des indications pour faire l’exercice.
Je pars d’un carré ABCD comme tu me l’as donné avec A en bas à gauche et B en bas à droite. Je divise chaque coté en parts égales. Ensuite je joins le point A au point F appartenant à DC (F est le point le plus proche de C sur DC). Je relie le sommet C au point M appartenant à AB (M est le point le plus proche de A) on a donc les droites AF et CM qui sont parallèles. De la même façon je relie le point B au point G (point appartenant à AD proche de D) et enfin je relie D au point E (E appartient à BC et est proche de B). Il se peut très bien que tu aies fait la construction un peu différemment mais cela reviendra exactement au même il te suffira simplement d’adapter tes notations à ce que je vais te dire.

L’aire du triangle AFD est facile à calculer puisque c’est un triangle rectangle en D. Son aire vaut donc AD*DF/2 c'est-à-dire n*(n-1)/2 car le point F est à la distance n-1 du point D.

Tu as bien raison sur la formule qu’il faut appliquer pour trouver l’aire du petit carré (je l’appelle HIJK en tournant dans l’ordre alphabétique dans le même sens que ABCD c'est-à-dire que I et J appartiennent à la droite BG). Avec mes notations cela veut dire qu’il faut enlever 2 fois le triangle AFD et deux fois l’aire du trapèze HDGI cette aire valant AFD – 2*HFD. On arrive donc bien à
HIJK = ABCD – 4AFD + 4HFD
Il ne reste donc qu’à trouver un moyen de calculer l’aire de HFD. Tu peux remarquer que ce triangle est un triangle rectangle en H dont tu connais l’hypoténuse puisqu’elle vaut FD = n-1. Mais pour calculer l’aire de HFD il te faut la valeur de HF et de HD. Comme tu as un triangle rectangle tu peux déjà écrire le théorème de Pythagore pour avoir une première relation entre les deux valeurs que tu cherches (HF et HD) et celle que tu connais (DF).
DF^2 = HF^2 + HD^2
Malheureusement cela ne te donne qu’une relation avec deux inconnues, cela ne suffit donc pas pour trouver la solution. En revanche tu peux remarquer que FH est parallèle à CK (les droites AF et MC sont parallèles) et donc tu peux appliquer le théorème de Thalès aux triangles HFD et KCD. Cela est intéressant parceque KC a forcément la même longueur de HD pour des raisons de symétrie le triangle HFD étant le même que le triangle EKC. Thalès va donc te donner une autre relation entre les deux valeurs que tu cherches :
DC/DF = KC/HF ce qui peut s’écrire :
n/(n-1) = HD/HF
Tu as donc un système de deux équations à deux inconnues :
(n-1)^2 = HF^2 + HD^2
n/(n-1) = HD/HF

Les calculs sont un peu lourd mais avec ce système tu peux exprimer HF et HD uniquement en fonction de n
Ensuite il faut que tu exprimes l’aire de HFD à partir de ces valeurs c'est-à-dire que tu exprimes le produit HF*HF/2 en fonction de n.
Tu remplaces enfin cette valeur de l’aire de HFD dans l’expression de l’aire du petit carré et tu auras l’aire de HIJK en fonction de n. Donc si tu connais la valeur de l’aire (1/1985) tu peux calculer la valeur de n.

Je te remercie de nous avoir expliquer ce que tu avais réussi à faire dans l’exercice. C’est ce qu’il faut faire. J’espère ainsi avoir pu te débloquer dans l’exercice la ou tu en avais besoin.
J’espère aussi avoir bien compris la figure, si ce n’étais pas le cas n’hésite pas à nous le dire on s’arrangera.
J’en profite au passage pour te signaler que nous travaillons actuellement sur un moyen de pouvoir faire des figures dans les questions que vous nous envoyez pour que cela soit plus simple à expliquer.

Bon courage et a très bientôt.
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