en une : Le raisonnement par récurrence

Conjecture de l'annulation d'une courbe

Mathematiques > sujets expliqués - Question simple
                
Bonjour Jeanne,

Dès que tu as un exercice où l’on te donne une équation il faut toujours que tu gardes en tête le graphe de la fonction associé à ton équation. Cela ne te donnera pas des preuves, mais souvent cela te permettra d’avoir des idées de résolution de l’exercice. Ici la fonction associé à l’équation (E) c’est la fonction qui pour tout x associe x^3-3x+1. Résoudre l’équation (E) c’est chercher les valeurs de x pour lesquelles la fonction s’annule c'est-à-dire les valeurs de x pour lesquelles le graphe de la fonction coupe l’axe des abscisses. Mais comme le graphe de cette fonction n’est pas forcément très facile à tracer on te propose d’utiliser deux autres fonctions qui te permette aussi d’exprimer l’équation (E). Tu seras d’accord que tu peux très bien réécrire l’équation (E) comme cela :
x^3 = 3x-1
J’ai juste fait passé -3x+1 de l’autre coté de l’égalité ce qui ne change rien à l’équation. Tu vois alors que la résolution de (E) revient à trouver les valeurs de x pour lesquelles les deux fonctions x -> x^3 et x -> 3x-1 sont égales. Si deux fonctions sont égales en un point x cela veut dire que leur graphe se coupent en ce point. Il ne te reste donc qu’à tracer le graphe de x -> x^3 puis sur le même repère, il faut que tu traces la droite croissante qui passe par -1 pour x = 0 et qui coupe l’axe des abscisses pour x = 1/3. Cette droite c’est le graphe de la fonction x -> 3x-1 . Il ne te restera qu’à compter sur ton dessin le nombre de points d’intersection entre ces deux graphes pour connaître le nombre de solution de l’équation (E).

Pour la question de trigonométrie cela s’appelle linéariser cos(3t). Pour le faire il te suffit d’appliquer les formules trigonométriques qu’il est très important que tu connaisses par cœur. Je ne vais te redonner ici que celles qui vont te servir à faire cet exercice mais il faut absolument que tu les connaisses toutes par cœur.
Il faut d’abord que tu penses que cos(3t) = cos(2t + t)
Tu peux alors appliquer la formule cos(a + b) = cos(a).cos(b) – sin(a).sin(b) en prenant a = t et b = 2t. Tu auras ensuite une expression avec des cos(2t) et des sin(2t). Tu dois eux aussi les linéariser en utilisant les formules cos(2a) = cos(a)^2 – sin(a)^2 et sin(2a) = 2.sin(a).cos(a)
Pour finir le calcul il faudra que tu utilises sin(a)^2 = 1 – cos(a)^2 et tu dois arriver à la solution qui est :
cos(3t) = 4cos(t)^3 – 3cos(t)
Si tu es en première tu n’as pas encore vu les nombres complexes mais tu verras en terminale qu’il existe une autre méthode pour faire ce genre d’exercice avec la formule de Moivre.

Il est essentiel que tu n’aies pas la moindre hésitation sur les formules trigonométriques. Fais toi des fiches et répètes les un peu régulièrement. A force tu dois être capable de les reconnaître dans n’importe quelle équation où il y a des cos et des sin pour simplifier au plus vite les expressions.

J’espère que ta rentrée se passe bien et à très bientôt.
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