en une : Le raisonnement par récurrence

La tortue et l'escargot

Mathematiques > sujets expliqués - Question simple
                
Bonjour Georgio.

La méthode que tu as commencé à utilisé est sans fin. En effet tu as la distance que parcours l’escargot en une heure. Puis tu calcules le temps que la tortue mets pour parcourir cette distance. Mais le temps que la tortue parcours cette distance l’escargot aura continué à avancer, donc la tortue sera encore derrière et il faudrait que tu recommences à calculer le temps que mettrait la tortue à parcourir cette distance supplémentaire. Si tu procèdes comme ça tu auras l’impression que la tortue ne va jamais rattraper l’escargot. C’est un paradoxe qui date de l’antiquité grecque et connu sous le nom de paradoxe d’Achille et de la tortue. Pour résoudre ce problème il faut prendre la question autrement :
Ce que tu cherches c’est le temps nécessaire pour que la tortue rattrape l’escargot. Ce temps est donc l’inconnu du problème. J’appelle x ce temps. Par définition, au temps x la tortue a rattrapé l’escargot c'est-à-dire que la distance parcourue par la tortue est alors égale à la distance parcourue par l’escargot. On peut donc écrire une égalité en exprimant la distance parcourue par les deux animaux à l’instant x.
L’escargot part à l’instant t=0 et avance à 1.5cm/s donc à l’instant x il a parcouru 1.5*x cm (avec x un temps exprimé en seconde). La tortue, elle, part avec une heure de retard puis elle avance à 4cm/s donc pendant le temps x elle a passé 1h à l’arrêt (c'est-à-dire 3600s à l’arrêt) et le reste du temps (c'est-à-dire x-3600) elle avance à 4cm/s. Donc elle a parcouru (x-3600)*4 cm. A l’instant x les deux animaux ont parcouru la même distance, donc on peut écrire que
1.5*x = (x-3600)*4
Maintenant il ne reste qu’à résoudre cette équation. Tu dois commencé par mettre tous les termes en x du même coté et toutes les constantes de l’autre coté :
1.5*x – 4*x = -4*3600
puis il ne reste qu’à simplifier :
2.5*x = 14400
donc x = 14400/2.5
d’où x = 5760 s
On peut convertir ce temps en heure :
x = 1h et 36 min (tu peux trouver cette conversion en divisant 5760 par 60 ce qui te donne x = 96 min et 96 minutes correspondent à 1h et 36 min)

Ce qu’il faut que tu retiennes d’un exercice comme celui-ci c’est qu’il faut toujours que tu exprimes simplement en langage mathématique ce que te dit l’énoncé. On te demande de trouver un temps, donc l’inconnu que tu cherches c’est ce temps. Ensuite on te dit que ce temps correspond au temps auquel la tortue et l’escargot sont au même endroit, donc tu exprimes les distances parcourues. En suivant rigoureusement ce que te dit l’énoncé tu arrives ainsi au résultat.

Voilà , j’espère que cela t’aidera.

Bon courage et à bientôt Georgio.
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