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étudier une fonction?

Mathematiques > sujets expliqués - Question simple
                
Bonjour Jeanne,

Pour étudier une fonction tu dois toujours suivre la même procédure systématiquement :

1) déterminer l’ensemble de définition
2) calculer la dérivée
3) établir le tableau de variation de la fonction
4) calculer les zéros et les limites de la fonction (on ne te demande pas forcément les zéros)

1) Fais bien attention au fait que l’ensemble de définition n’est pas forcément identique à l’ensemble sur lequel on te demande d’étudier la fonction. Par exemple si on te demandait d’étudier la fonction 1/x sur [-1;1] l’ensemble de définition serait dans ce cas [-1;0[ et ]0 ;1] parce que 1/x n’est pas définie en 0. L’ensemble de définition est l’intersection de l’ensemble où la fonction existe avec l’ensemble sur lequel on te demande d’étudier la fonction. Pour toute la suite tu ne dois considérer les fonctions que sur l’ensemble de définition.
Dans ton cas l’ensemble de définition est bien [-1 ;1] mais tu dois quand même faire attention au fait que la fonction |x| (valeur absolue de x) est une fonction un peu particulière parce qu’elle a une discontinuité de sa dérivée en zéro (en zéro la pente de la courbe change brusquement). Cela signifie que la fonction est bien définie en zéro mais que pour l’étudier tu es obligée de séparer l’étude sur les deux ensembles [-1;0[ et [0 ;1] afin d’avoir une dérivée bien définie sur chacun de ces intervalles.

2) Maintenant que tu sais sur quels intervalles tu dois travailler il faut que tu calcules la dérivée. Le signe de la dérivée est le seul moyen de connaître le sens de variation de la fonction. Tu fais le travail séparément sur les deux intervalles [-1;0[ et [0 ;1]. Sur [-1;0[ la fonction s’écrit g(x) = x^2 + x et donc la dérivée s’écrit g’(x) = 2x + 1
Tu cherches alors le signe de g’(x) en résolvant par exemple g’(x) = 2x + 1 > 0 ce qui est vérifié pour x > -1/2. Donc g’(x) est négative sur [-1 ;-1/2[ , vaut 0 en –1/2 (c’est-à-dire que g(x) change de direction en –1/2) , et enfin g’(x) est positive sur ]-1/2 ; 0[ (donc g(x) est croissante sur cet intervalle car la dérivée représente la pente de la fonction). Tu dois faire la même chose sur l’intervalle [0 ;1] et tu auras le tableau de variation complet.

3) Ton tableau de variation doit bien commencer et finir aux bornes de l’ensemble de définition donc ici –1 et 1 et tu dois y mettre toutes les valeurs où la fonction change de direction donc ici –1/2 et 0 et ½ en spécifiant bien que la dérivée g’(x) n’existe pas en 0. Tu dois alors compléter le tableau de variation avec les valeurs de la fonction à chaque point remarquable du tableau de variation (ici c’est –1 , -1/2 , 0 , 1/2 , 1). Avec certaines fonction cette étape t’oblige à calculer des limites parce que la fonction n’est pas définie pour une valeur précise (par exemple avec la fonction 1/x tu devrait calculer une limite à gauche de 0 et une à droite de 0 parce que 1/x tend vers l’infini en 0) mais ici tu n’as qu’à calculer la valeur de ta fonction en chacun de ces points.

Le calcul de la dérivée et la façon de déterminer le signe de cette dérivée peuvent changer selon la fonction que l’on te donne mais la structure de l’étude d’une fonction est toujours la même. Tu dois toujours suivre les quatre étapes que je t’ai redonnées ici. L’étape peut-être la plus importante c’est de bien être sûr de l’ensemble de définition parce que si tu oublies d’enlever des valeurs où la fonction n’existe pas tu risques de raconter n’importe quoi dans le reste de l’étude.

J’espère que tout cela t’aidera et je te souhaite un bon courage pour la rentrée.

Je te souhaite une très bonne année et à bientôt Jeanne.
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