Dérivées successives

Mathematiques > sujets expliqués - Question simple

	Dérivées successives revenir au plan			docs
		f(x)=(x^2-3x+4)/(x-1) calcule(...)
		Bonjour ! Cette fonction es lire

Bonjour !

Cette fonction est dérivable sur son ensemble de définition (c'est à dire : l'ensembe des réels, privé de 1), en tant que fonction rationnelle.
Tu peux calculer f'(x) à partir de la formule de dérivation des fonctions rationnelles :
si f(x)=u(x)/v(x) (avec ici : u et v, deux fonctions polynomiales), alors :
f'(x)=[u'(x).v(x)-u(x).v'(x)]/[v(x)]^2
Dans ce cas précis, cette expression se simplifie, et tu obtiens à la fin une expression de la forme :
f'(x)=a + b/(1-x)^2
avec a et b, deux constantes.
Cette nouvelle fonction rationnelle est elle aussi dérivable sur l'ensemble des réels, privé de 1, et tu peux calculer sa dérivée en utilisant la formule donnant la dérivée de l'inverse d'une fonction : si f(x)=1/u(x), alors :
f'(x)=-u'(x)/[u(x)]^2
et tu verras que f''(x) est une fonction rationnelle encore plus simple : c'est simplement l'inverse d'un polynôme. Tu pourras donc conjecturer une forme générale pour la dérivée d'ordre n (si tu as du mal à la voir, essaye de calculer f'''(x), ce sera plus apparent), et la démontrer par récurrence.

Documents attachés :

aucun document joint.