La formule de heron

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Si on connaît les trois côtés d'un triangle, ce triangle est particulièrement déterminé, donc on doit pouvoir calculer l'aire d'un triangle connaissant la longueur de chacun de ses côtés.
On pose a+b+c=2p (p est dc le demi-périmètre du triangle). Héron d'Alexandrie (1° siècle après J.C) a établi que l'aire S du triangle est donné par:
S²=p(p-a)(p-b)(p-c)

a. Calculer cos en fonction de a,b et c en utilisant la formule d'Al Kashi.
b. En déduire cos²Â, puis sin²Â, en fonction de a,b et c. On montrara que:
sin²A=[(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)]/(4b²c²),
puisque: bc²sin²A=4p(p-a)(p-b)(p-c).
C. En utilisant la relation S=1/2 bc sinÂ, établir la formule de Héron.
D. Calculer l'aire du triangle de côtés 20,12 et 15

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