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		L'énoncé est le suiv(...)
		1/ A nilpotente signifie A^n = lire

1/ A nilpotente signifie A^n = O.
- Supposons qu'il existe un vecteur x tel que A^(n-1).x est non nul.
Montrons que [A^(n-1).x, ..., A.x, x] est une base de ton espace vectoriel fini de dimension n.
Pour cela il suffit de montrer que c'est une famille libre (en effet, en dimension finie, etre une base equivaut a etre une famille libre).
Formons une combinaison linaire nulle :
p1.x + p2. A.x + ... + pn. A^(n-1).x = 0
Et montrons que les coefficients p1, .., pn sont necessairement nuls. Pour cela, multiplions par A^(n-1). Comme A est nilpotente, tous les termes sont nuls, sauf :
p1 . A^(n-1).x
On a donc : p1 . A^(n-1).x = 0,
et donc p1 = 0.
ON reporte : p2. A.x + ... + pn. A^(n-1).x = 0
Et on recommence, en multipliant par A^(n-2).
On obtient alors p2 = 0.
Ainsi de suite, on montre que tous les pi sont nuls.
//

Ecrivons maintenant la matrice A dans cette base. La premiere colonne, dans cette base, est l'image par A du premier vecteur de la base :
A.[ A^(n-1).x ] = A^n.x = 0
DONC la premiere colonne est nulle.
A.[ A^(n-2).x ] = A^(n-1).x
DONC la deuxieme colonne a des 0 partout, sauf sur la premiere ligne, ou il y a un 1.
Et ainsi de suite.
La matrice de A dans cette base s'ecrit :
0 1 0 ... 0 0
0 0 1 ... 0 0
: : : : :
0 0 0 ... 0 1
0 0 0 ... 0 0
Elle est bien triangulaire superieure a diagonale nulle.

Soit P la matrice de passage de la base canonique a notre velle base, l'on a bien :
P^(-1) A P = la matrice ci-dessus.

- S'il n'existe pas de vecteur x tel que A^(n-1).x est non nul, alors on s'attaque au meme probleme avec une dimension en moins :
* s'il existe un vecteur x tel que
A^(n-2).x est non nul, alors on utilise la famille [ x, A.x, .., A^(n-2).x ] qui est libre, et que l'on complete en base avec un vecteur v du noyau de A^(n-2) :
[ v, A^(n-2).x, ..., A.x, x ]
Alors la matrice de A dans cette base s'ecrit

0 0 1 0 ... 0 0
0 0 0 1 ... 0 0
: : : : : :
0 0 0 0 ... 0 1
0 0 0 0 ... 0 0
0 0 0 0 ... 0 0

Et ainsi de suite...

2/ det (A - In) =
[1/det(P)] * det (A - In) * det(P) =
det[P^(-1)] * det (A - In) * det(P) =
det[ P^(-1) * (A - In) * P ] =
det[ P^(-1) A P - P^(-1) In P ] =
det[ P^(-1) A P - In ]
Or la matrice P^(-1) A P est triangulaire superieure a diagonale nulle, donc la matrice P^(-1) A P - In est triangulaire superieure aveec uniqumenet des 1 sur sa diagonale. DONC son determinant vaut 1.

Voila, j'espere avoir ete assez clair // "

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