en une : Le raisonnement par récurrence

Dérivation

Mathematiques > sujets expliqués - 12/05/2009 - Question de cours
                
Bonsoir,

ci joint des explications sur la dérivation.

J'espère qu'elles te seront utiles, bon courage !

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La dérivation

Principe

La dérivation a pour objectif de faciliter l’étude de fonction en permettant de connaitre les variations de la fonction étudiée. En voici le principe :
Soit la courbe suivante, associée à une fonction f que l’on souhaite étudier (on la suppose continue) :

Graphiquement, on sait que la courbe croît (respectivement décroît) lorsque sa pente est positive (respectivement négative) ou encore « quand ses valeurs numérique augmentent ».
Ainsi, sur le tracé, on calculer cette variation de valeurs numériques :

La variation de f entre x et x+dx est donc donnée par :
τ=(f(x+dx)-f(x))/(x+dx-x)=(f(x+dx)-f(x))/dx
On appelle cette grandeur le taux de variation. Il s’agit de la variation de f par unité d’abscisse x.
Lorsque l’on souhaite connaitre la variation précise de f en un point, on fait tendre dx vers des valeurs de plus en plus petites.

Dérivation

La définition suivante de la dérivation peut donc être considérée comme une sorte de définition de base ou originelle :
f^' (x)=lim┬(h→0)⁡〖(f(x+h)-f(x))/h〗=lim┬(a→x)⁡〖(f(a)-f(x))/(a-x)〗
La valeur de la dérivée en un point est donc la limite du taux de variation en ce point.

Exemple de calcul

Retrouvons la formule suivante :
(x^2 )^'=2x
lim┬(h→0)⁡〖((x+h)^2-x^2)/h=〗 lim┬(h→0)⁡〖(x^2+h^2+2xh-x^2)/h=〗 lim┬(h→0)⁡〖(h^2+2xh)/h=lim┬(h→0)⁡〖h+2x=2x〗 〗

Les formules à savoir

Elles sont données dans ton cours. On peut néanmoins en citer quelques unes :
(fg)^'=f^'*g'
((f)^n )^'=f^'*n*(f)^(n-1)
(f∘g)^'=g^'*f^'∘g

(f+g)^'=f^'+g'

Elles sont importantes à connaitre car on peut ensuite les appliquer directement (sauf cas particuliers rencontrés dans certains exercices).
Quelques conseils pour les exercices

Pour traiter les exercices portant sur les études de fonction, il y a toujours plusieurs étapes à respecter avant tout.
La première est de répondre aux questions suivantes :
sur quel domaine la fonction est-elle définie ?
sur quel domaine la fonction est-elle dérivable ? (c'est-à-dire sur quel domaine la limite converge-t-elle)
Répondre à ces questions permet de ne pas faire de grosses erreurs ensuite.
Pour y répondre, on utilise les réponses que l’on connait déjà. Par exemple la fonction cosinus est définie sur ℝ et dérivable sur ℝ, de même que la fonction x→x^n, ainsi par composition de deux fonctions définies et dérivables sur ℝ on sait que la fonction x→(cos⁡(x) )^n est elle aussi définie et dérivable sur ℝ.
Pour t’entrainer à faire ça, il n’y a rien de mieux que les exercices. N’hésite pas à demander au prof et surtout consulte les exercices que vous avez faits en classe pour comprendre quelles justifications sont utilisées !

J’espère que ce document te sera utile.
Bon courage !
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