en une : Le raisonnement par récurrence

Aide exo de math terminal s

Mathematiques > sujets expliqués - 08/03/2009 - correction
                
Bon excuse moi alors.

Voici le corrigé, j'espère qu'il t'aidera. J'y ai mis quelques conseils notamment à la fin. Il est joint en pdf pour une meilleure mise en page et pour les illustrations, mais j'en ai copié le contenu ci dessous au cas où tu ne parviendrais pas à l'ouvrir.

Bon courage !
___________________________

Partie B – Etude d’une fonction

Soit f la fonction de courbe représentative C définie sur R par :
f(x)=e^(1-3x)/(1+e^(-3x) )

On veut déterminer les limites de f en +∞ et -∞.
lim┬(x→+∞)⁡〖f(x)=〗 lim┬(x→+∞) e^(1-3x)/(1+e^(-3x) )

Or, on sait que
lim┬(x→+∞) e^(1-3x)=lim┬(x→+∞) e^(-3x)=0

D’où
lim┬(x→+∞)⁡〖f(x)=〗 lim┬(x→+∞) e^(1-3x)/(1+e^(-3x) )=0

lim┬(x→-∞)⁡〖f(x)=〗 lim┬(x→-∞) e^(1-3x)/(1+e^(-3x) )

Or, on sait que
lim┬(x→-∞) e^(1-3x)=lim┬(x→-∞) e^(-3x)=+∞

D’où
lim┬(x→-∞)⁡〖f(x)=〗 lim┬(x→-∞) e^(1-3x)/(1+e^(-3x) )=lim┬(x→-∞) e^(1-3x)/e^(-3x) =e

On étudie les variations de f :
f^' (x)=3/(1+e^(-3x) )^2 (e^(1-6x)-e^(1-3x)-e^(1-6x))

f^' (x)=-(3e^(1-3x))/(1+e^(-3x) )^2 <0 ∀x∈R

D’où la fonction f est strictement décroissante.

On a donc le tableau de variation :
x -∞ +∞

f(x) e

0

2)


3)
On pose :
I_a=∫_0^a▒f(x)dx

a)
I_a correspond géométriquement à l’aire comprise entre l’axe des abscisses, la courbe et les droites d’équation x=0 et x=a, c'est-à-dire : (la zone est hachurée)

Etant donné que la fonction f prend des valeurs strictement positives sur son domaine de définition, on en déduit que :
Pour a > 0 I_a>0
Pout a < 0 I_a<0
b)
Pour exprimer I_a, il fait trouver une primitive de la fonction f. Deux cas peuvent alors se présenter. Soit c’est évident (et alors il n’y a pas de problème) soit la fonction peut se rapporter à une forme connue facile à intégrer. Si vraiment tu bloques sur un calcul de ce type et que ta calculatrice gère le calcul formel (la manipulation d’équations, ex casio graph 100, classpad et certaines T.I.) tu peux essayer de lui faire calculer une primitive ce qui peut t’aider à deviner la forme connue à faire apparaitre.
Ici on a :
f(x)=e^(1-3x)/(1+e^(-3x) )
Ce qui peut s’écrire :
f(x)=(e*e^(-3x))/(1+e^(-3x) )= -e/3* (-3*e^(-3x))/(1+e^(-3x) )
Ou encore si on pose h(x)=e^(-3x)
f(x)= - e/3* (h^' (x))/(1+h(x))
On en déduit :
I_a=[-e/3*ln⁡(1+h(x) ) ]_0^a=-e/3*ln⁡((1+e^(-3x))/2)
c)
Une fois ce calcul fait, il ne reste plus qu’à calculer la limite qui est simple :
lim┬(x→+∞)⁡〖-e/3*ln⁡((1+e^(-3x))/2) 〗=(e*ln(2))/3

Une chose dont tu dois toujours être sûr, c’est qu’au lycée aucun exercice ne te demandera d’inventer une technique compliquée. Ainsi il est forcé que la solution se base sur des choses connues et déjà vues. La seule difficulté est de réussir à deviner laquelle utiliser, ici il s’agissait de faire apparaitre une fonction dérivée dans l’intégrale pour pourvoir intégrer facilement (cette technique revient souvent, pense à l’essayer si tu bloques ou encore à l’intégration par parties qui fait partie des outils classiques).
Documents attachés :     
. voir
. téléchager