en une : Le raisonnement par récurrence

Les limites de fonctions

Mathematiques > sujets expliqués - 01/03/2009 - correction
                
Bonsoir,
regarde de préférence la réponse jointe en pdf pour pouvoir visualiser les différents tableaux correctement.
J'espère t'avoir été utile. Bonne soirée !


On pose h(x)=2/3 x^3-4x^2-4

Etudier les variations de h sur R

Lorsqu’il s’agit d’étudier les variations d’une fonction, il faut regarder la façon dont la courbe monte ou descend. Il est donc demandé ici de dire sur quelle partie de ℝ la fonction croît, reste constante ou décroît. Il est préférable de représenter le résultat sous la forme d’un tableau de ce type : (exemple pour f(x)=x2)
x -∞ 0 +∞
f(x)=x2 +∞

+∞

Chaque flèche indique si la fonction est croissante, décroissante ou constante (flèche horizontale) et les valeurs placées aux extrémités des flèches correspondent aux limites de la fonction. C’est très pratique notamment pour connaître le signe d’une fonction.
Par exemple ici on voit que cette fonction tend vers l’infini en +∞ et en -∞, qu’elle décroît dans un premier temps vers la valeur 0 qu’elle atteint en 0 et qu’elle croît ensuite vers l’infini pour x>0.

Si tu as déjà vu la dérivation en cours, il faut donc calculer la dérivée et étudier son signe. Si tu ne l’as pas encore vu il faut se débrouiller autrement, par exemple en voyant que x3 est toujours croissant, et va de -∞ à +∞ et que –4x2 est croissant pour x<0 puis décroissant pour x>0. Donc pour x<0 comme tous les termes sont croissant, la fonction est croissante.
Pour la partie x>0 il faut distinguer deux zones, la première comprise entre 0 et une abscisse a à déterminer où le terme en -4x2 est prépondérant par rapport à –(2/3)x3 et où la fonction va décroître, puis un deuxième intervalle de a à +∞ où la fonction se remet à croître.

Montrer que l’équation h(x)=0 admet une unique solution & sur l’intervalle [6 ; 7].

L’équation t’es donnée par l’énoncé. En toute généralité, elle pourrait avoir une, plusieurs ou encore aucune solution (c'est-à-dire qu’elle peut être vraie pour une valeur particulière de x, plusieurs mais parfois pour aucune).

On te demande ici de montrer que sur [6,7] il existe une et une seule valeur de x pour laquelle h vaut 0. Pour le déterminer, il faut utiliser le tableau de variation que tu auras établi. Tu vas trouver que la fonction est monotone (elle ne change pas de variation) sur [6,7] et qu’elle passe de valeurs négatives à des valeurs positives ce qui permet de justifier qu’il y a une solution et qu’il n’y en a qu’une seule.

Donner une valeur approchée à 10-3 par défaut de & (Tu peux utiliser différentes techniques, par dichotomie par exemple, ou en te servant de ta calculatrice pour résoudre l’équation. Regarde pour cela dans le manuel fourni avec pour savoir comment il faut faire)

Déduire de 1. et 2. le signe de h sur R

Une fois que tu sais comment la fonction varie, tu connais ses maximums et ses minimums. Tu peux donc dire sur chaque sous-intervalle de ℝ si la fonction est négative ou positive.

Par exemple pour f(x)=x2-2 on a le tableau de variation suivant :

x -∞ 0 +∞
f(x)=x2-2 +∞

+∞

Sur ]-∞,0] la fonction est strictement décroissante et passe de valeurs positives à des valeurs négatives, comme elle est continue on en déduit qu’elle coupe une et une seule fois l’axe des abscisses.
De même sur [0,+∞[ elle est strictement croissante et passe de valeurs négatives à des valeurs positives et coupe donc l’axe des abscisses une et une seule fois.
D’où le tableau de signe suivant :

x -∞ -√2 +√2 +∞
f(x)=x2-2 + -
+
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