en une : Sujet : causes de la crise de 1929

Exerice sur les fonction pour demain

Mathematiques > sujets expliqués - 30/11/2008 - correction
                
Bonjour.

I/b/ Il faut utiliser le théorème des valeurs intermédiaires. Normalement tu as trouvé au a/ que g est strictement croissante sur ]-infini, -1] et sur [1,+infini[ et strictement décroissante sur [-1,1]. Comme g(-1)=-2 et g(1)=-6 et que g tend vers -infini en -infini et +infini en +infini (tableau de variations), on trouve que g s'annule une unique fois entre 1 et +infini, et pas ailleurs (voir le tableau de variations).
Pour la valeur approchée de a, trace la courbe de g sur ta calculatrice et regarde où est-ce qu'elle coupe l'axe des abscisses.

c/ Le signe de g est facile à trouver en regardant le tableau de variations : g est négative de -infini à a et positive de a à +infini.

II/a/ Il faut d'abord calculer f'. On doit trouver [Formule incorrecte ou erreur de parsing. Erreur 6 ]

Comme le dénominateur et x sont toujours strictement positifs sur ]1, +infini], f' est du signe de g sur cet intervalle.

b/Il faut calculer les limites de f en 1 et en +infini (les bornes de son intervalle de définition).
En + infini, comme f est une fonction rationnelle, elle a même limite que [Formule incorrecte ou erreur de parsing. Erreur 6 ] donc elle tend vers +infini en +infini.

En 1, le numérateur tend vers 3 et le dénominateur vers 0 en restant positif (car x reste plus grand que 1 dans l'intervalle de définition). Donc f tend vers +infini en 1. Elle admet donc une asymptote verticale en 1.

c/ On connait le signe de f' (=signe de g) donc le tableau de variation est facile à faire. La valeur de f(a) est obtenue en la calculant à partir de la valeur approchée de a.

d/Pour cela, il faut montrer que $\lim_{x\to +\infty }f(x)-(x+2)=0$ (par définition d'une asymptote oblique).

On calcule donc cette quantité et on trouve
[Formule incorrecte ou erreur de parsing. Erreur 6 ] qui tend bien vers 0 en +infini (fonction rationnelle, donc même limite que [Formule incorrecte ou erreur de parsing. Erreur 6 ])
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