en une : Le raisonnement par récurrence

Sujet de mecanique des fluides

Physique > sujets expliqués - 11/05/2009 - correction
                
Etude d'une tuyère :
1) a)En A, la surface de la tuyère vaut :
${S}_{A} = \pi.{({D}_{A}/2)}^{2}$

Le débit volumique vaut $qv = \frac{{S}_{A}.dx}{dt} = {S}_{A}.{V}_{A}$
donc ${{D}_{A}}^{2}=\frac{4.qv}{\pi.{V}_{A}}$

De même pour ${D}_{B}$

b) On suppose que le diamètre varie linéairement avec x. On prend x(A)=0.
On a donc $D(x)=\frac{{D}_{B}}{0,7}x+{D}_{A}$

c) On a toujours
$qv = \frac{S(x).dx}{dt} = S(x).v(x) = \pi.{(D(x)/2)}^{2}.v(x)$
donc $v(x)=\frac{qv}{\pi }{(\frac{2}{D(x)})}^{2}$

d) On utilise le théorème de Bernoulli, en prenant z=0 :
$\frac{{v}^{2}}{2}+\frac{p(x)}{\rho}=constante=\frac{{{v}_{A}}^{2}}{2}+\frac{p(0)}{\rho}=\frac{{{v}_{A}}^{2}}{2}$
d'où p(x)

2)La loi de Bernoulli nous donne
$p({x}_{B})=\rho\frac{{v}_{A}²-{v}_{B}²}{2}$

On trouve alors la loi linéaire donnant la pression :
$p(x)=\frac{{p}_{B}}{0,7}x+{p}_{A}$

On a donc
$v(x)=\sqrt{v(A)²-2\frac{p}{\rho}}$

puis ${D(x)}^{2}=\frac{4.qv}{\pi.v(x)}$

Installation de pompage :
D'après la formule de Darcy, les pertes de charge valent :
$\Delta E=f\frac{L.v²}{2.D.g}$

Par définition du coefficient de résistance hydraulique, $\Delta E=k.(Qv)²$
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