Comment procédé pour trouver la réponse ?

Mathematiques > sujets expliqués - 07/02/2008 - correction

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		trouver un naturel de trois ch lire
		Bonjour, Pour résoudre ce lire

Bonjour,

Pour résoudre ce problème, il faut traduire l’énoncé en équations ; toute la question est de trouver, les paramètres c’est-à-dire les inconnues de ces inconnues.

On cherche un chiffre, que l’on pourrait appeler x, mais les informations données concernent ses chiffres, qui sont au nombre de trois. Appelons donc ces trois chiffres x, y et z. Notre nombre s’écrit donc xyz (pas de multiplication, mais une simple écriture de chiffres à la suite ; par exemple, si x = 4, y = 2 et z = 3 , notre nombre est 423).

La première information est : la somme des chiffres vaut 24 : x + y +z = 24.

Par ailleurs, il nous exprimer arithmétiquement notre nombre avec x, y et z. Comme x est le chiffre des centaines, y celui des dizaines et z celui des unités, notre nombre s’écrit : 100.x +10.y + z. Traduisons la deuxième hypothèse : si l’on inverse les deux premiers chiffres (en partant de la droite en fait, ce nouveau nombre s’écrit donc xzy et vaut 100.x + 10.z + y), on obtient le chiffre de départ moins 9 (soit 100.x +10.y + z -9). Ceci s’écrit sous forme d’équation : 100x + 10y + z - 9 = 100x + 10z + y, soit 10y + z – 9 = 10z +y, ou encore : 9y – 9 = 9z, soit y – z = 1.

On a donc un système de deux équations à trois inconnues :

x + y + z =24
y – z = 1,

sans oublier que x, y et z sont tous des entiers positifs, compris entre 0 et 9 (ce sont des chiffres, sinon le nombre n’a pas trois chiffres et x est non nul pour cette même raison).

Quant on a moins d’équations que d’inconnues, on est obliger de fixer l’une de ces inconnues qui devient ce que l’on appelle un paramètre. C’est-à-dire qu’on ne connaît pas encore sa valeur, mais on « fait comme si » c’était un nombre et on résout le problème en fonction de lui. Par la suite, il faudra réaliser des tests avec les valeurs possibles de ce paramètre pour trouver des solutions acceptables. Choisissons z comme paramètre par exemple ; on le considère comme connu et on exprimer alors x et y en fonction de lui.

Il vient de suite : y = z + 1, puis x = 24 – z – y. Si on a z, on a automatiquement ensuite x et y.

z est positif, faisons un test avec z = 0 pour commencer. Alors y = 1 et x =23, ce qui est exclus. Donc z = 0 ne fonctionne pas.

Puis on réalise de même tous les tests ; ici, c’est possible car z est limité aux entiers compris entre 0 et 9, c’est donc un ensemble fini et les tests sont assez rapides. En faisant les tests, on s’aperçoit qu’à z = 6, ce n’est toujours pas bon (x=11 alors), que cela le devient pour z = 7, car alors y=8 et x=9. On obtient 987 et on vérifie que le texte de départ est respecté (7+8+9 = 24 et 987-9 = 978). Pour z = 8, y =9 et x = 7 : solution aussi acceptable. Enfin, z = 9, y = 10 : ce n’est déjà plus possible. Deux cas possibles donc.

Si la liste des possibilités pour z avait été plus longue, on aurait pu éviter le cas par cas (et il ne faut pas oublier alors de vérifier que réciproquement, les solutions trouvées conviennent bien) en traduisant une autre contrainte : x est compris entre 0 et 9, donc x = 24 – z – y > 0 et 24 – z – y <9. On obtient y+z<24 et y+z>15. On en vient alors à résoudre y<24-z et y>15-z, système d’inéquations, graphiquement par exemple, en se souvenant que y et z sont eux-mêmes entre 0 et 9, entiers. Il suffit de tracer les deux droites et repérer la zone qui correspond aux deux inégalités et aux contraintes précédentes sur y et z. On retrouve les mêmes solutions : 987 et 798.

J’espère que cet exercice est désormais plus clair.

Bonne continuation.

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