Logarithme népérien

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		Bonjour David, Pour résoud lire

Bonjour David,

Pour résoudre des exercices faisant intervenir des logarithmes il faut avant toute chose que tu connaisses parfaitement les principales caractéristiques de cette fonction :
La fonction x -> ln(x) définie uniquement sur les réels positifs ( ensemble de définition : ]0 ; + oo[). C’est une fonction strictement croissante sur cet ensemble. Sa limite quand x tend vers 0 est « moins l’infini » et sa limite quand x tend vers + l’infini c’est « moins l’infini ». La dernière caractéristique importante c’est que la fonction ln(x) vaut 0 pour x = 1 et elle vaut 1 pour x = e
Si tu connais ces caractéristiques tu dois être capable de visualiser sans hésitation le graphe de la fonction ln et cela doit t’aider à résoudre déjà beaucoup de questions. Ensuite il y a les problèmes calculatoires des fonctions ln. Pour cela il faut que tu connaisses parfaitement quelques règles supplémentaires :
La somme de deux ln est égale au ln du produit c'est-à-dire : ln(a) + ln(b) = ln(ab)
La différence de deux ln est égale au ln du rapport c'est-à-dire : ln(a)-ln(b) = ln(a/b)
Et enfin exp(ln(x)) = x (exp désigne ici la fonction exponentielle)

Avec ces quelques propriétés tu peux résoudre toutes les questions que tu nous a posé.
Par exemple, pour résoudre la première question tu dois trouver les solutions d’une égalité entre deux ln : ln(x+3)=ln(x+2) On ne peut jamais résoudre directement une équation comme celle là. Il faut toujours trouver un moyen de se ramener à une équation sans ln. Pour cela il faut toujours commencer par essayer de rassembler les ln dans le même terme. C’est pour cela que les propriétés calculatoires des ln que je t’ai rappelé vont être très utiles. En effet ici on va commencer par écrire les deux ln en un seul grace à la propriété de la différence de deux ln :
On a ln(x+3)-ln(x+2) = 0
Donc d’après la propriété ci-dessus ln( (x+3)/(x+2) ) = 0
Cette fois ton équation se résume à un seul ln qui est égal à 0. Or dans les propriétés de la fonction ln on sait notamment que ln(a)=0 si et seulement si a = 1. Cela signifie dans ton cas qu’il faut que tu trouves les valeurs de x telles que (x+3)/(x+2) = 1
Tu obtiens ainsi une équation du premier degré que tu pourra résoudre aisément.

Pour la deuxième question il faut là aussi que tu commences par rassembler les deux ln en un seul avec la propriété sur la somme de deux ln. On a alors :
Ln(7/3) + ln(12/7) = ln(7/3*12/7) Dans le produit de fraction on a alors un 7 au numérateur et au dénominateur que l’on peut donc simplifier. Finalement il ne reste que ln(12/3) Or 12/3 = 4 don cil ne reste que ln(4). A ce moment là pour faire apparaître du ln(2) il faut juste que tu penses que tu peux écrire que 4 = 2*2 et il ne te resteras plus qu’à réutiliser l’égalité ln(a) + ln(b) = ln(ab) avec dans ce cas a = b = 2

Pour la troisième question tu as deux caractéristiques de la fonction ln à utiliser : d’abord tu dois te demander pour quelle valeur de x on a ln(x) = 1 (je t’ai donné la réponse au début). Ensuite on te demande de prouver une inégalité. Or tu sasi qu la fonction ln est strictement croissante . Donc si tu sais pour quelle valeur de x on a ln(x) = 1 tu sais que pour n’importe quelle valeur de x plus grande, tu auras ln(x) > 1

Voilà David, j’espère que cela t’aidera à mieux comprendre la fonction ln.

A bientôt.

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