en une : Sujet : causes de la crise de 1929

Exercice de géométrie

Mathematiques > sujets expliqués - Question simple
                
Bonjour Sarah,

Pour faire cet exercice il faut que tu aies bien en tête la définition de deux triangles de même forme. La première définition est : deux triangles de même forme sont deux triangles qui ont leurs trois angles égaux . Une conséquence immédiate de cette définition est donnée par le théorème de Thalès : les cotés des deux triangles sont nécessairement dans le même rapport c'est-à-dire que pour deux triangles ABC et EFG on a AB/EF = BC/FG = CB/GE (pour que cette égalité soit vraie il faut prendre les triangle « dans le même sens » c'est-à-dire que l’angle en A soit bien égal à celui en E et que l’angle en B dans le triangle ABC soit égal à l’angle en F dans le triangle EFG). L’égalité que je viens de te rappeler te donne en fait un coefficient « d’agrandissement » pour passer du triangle ABC au triangle EFG. Ces deux triangles ont la même forme mais un des deux peut être plus grand que l’autre.

Revenons à ton exercice.
1) On te dit que deux rectangles ABCD et EFGH sont de même forme si les triangles ABC et EFG sont de même forme. D’après le rappel de cours que je t’ai fait ci-dessus on a donc AB/EF = BC/FG ce qui s’écrit avec les notation de l’énoncé L1/L2 = l1/l2 (en supposant que AB et EF sont bien les longueur des rectangles ABCD et EFGH).
En multipliant cette égalité de chaque coté par l2 on obtient :
l2*L1/L2 = l1
et en multipliant cette égalité de chaque coté par (1/L1) on obtient
l2/L2 = l1/L1
ce qui est l’égalité que l’on te demande de démontrer .

2) Tu dois te faire un dessin pour bien comprendre ce qui se passe. On te demande de tracer un carré AEFD dans un rectangle ABCD dont la longueur (coté le plus grand du rectangle) est AB. Tu vas donc avoir le point E sur le segment AB et le point F sur le segment CD. On te dit en plus que les deux rectangles ABCD et EFGH sont de même forme c'est-à-dire d’après la première question que tu peux écrire l1/L1 = l2/L2.
Dans le rectangle ABCD tu connais l1 et L1 : L1 = AB et l1 = BC. Maintenant il faut que tu voies bien sur ton dessin à quoi correspondent l2 et L2 dans le nouveau rectangle EFGH.
Si on appelle L la longueur AB et l la largeur BC du rectangle ABCD il faut bien que tu voies sur ton dessin que l devient est aussi la longueur du nouveau rectangle EBCF. La largeur de ce nouveau rectangle (c’est le coté EB) a une longueur inférieure à L car E appartient à AB. Tu sais que AEFD est un carré c'est-à-dire que tous les cotés de AEFD sont égaux. Tu as donc AE = AD = l (en effet AD = l car c’est la largeur de ABCD) . Tu peux donc calculer EB car AB = AE + EB donc L = l + EB donc EB = L – l est la largeur du nouveau rectangle
Si je te fais un résumé tu as :
L1 la longueur de ABCD qui vaut AB = L
l1 la largeur de ABCD qui vaut BC = l
L2 la longueur de EBCF qui vaut BC = l
l2 la largeur de EBCF qui vaut EB = L- l

il ne reste plus qu’à appliquer la formule démontrée dans la première question aux rectangles ABCD et EFGH. Tu obtiens alors l1/L1 = l2/L2 ce qui s’écrit dans ce cas l/L = (L – l)/l.

Pour la question suivante tu n’as qu’à remplacer l/L par x (c’est en fait le coefficient d’agrandissement pour passer d’un rectangle à l’autre c'est-à-dire le facteur de multiplication des longueurs entre l’un et l’autre pour garder la même forme).

Enfin pour la dernière question il faut que tu multiplie 1/x = x – 1 de chaque coté par x et tu obtiens l’équation du second degré que l’on te demande ; Il ne te reste alors plus qu’à la résoudre et tu tomberas sur le nombre d’or parmi les deux solutions.

Lorsque tu nous poses une question tu devrais nous donner aussi ce que tu as essayé de faire sur l’exercice pour que l’on puisse mieux comprendre sur quoi tu as buté ou sont vraiment tes problèmes pour mieux orienter la réponse vers tes besoins à toi.
Voila j’espère que tout cela t’aidera.

A très bientôt.
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