Simplification

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Bonjour Jeremy,

Il y a une chose très importante qu’il faut que tu comprennes bien : lorsque l’on te donne une équation avec des lettres à la place des chiffres c’est que l’on veut montrer que le résultat est vrai pour n’importe quel nombre. Si tu fais la démonstration en remplaçant les lettres par une valeur choisie au hasard (par exemple 5) tu auras prouvé le résultat pour 5 mais cela ne prouve rien du tout pour tous les autres nombres. Il faut donc que tu arrives à faire la démonstration en gardant les lettres et en te disant que les lettres a et b peuvent être égale à n’importe quel nombre. Il faut que tu arrives à trouver un raisonnement général qui marche pour toutes les valeurs possible de a et b.
Dans ton exercice on te demande de simplifier une fraction dans laquelle tu as des racines. Quand tu as des racines au dénominateur d’une fraction il faut toujours que tu ai le réflexe de chercher à ne plus avoir de racine au dénominateur parce que cela empêche de faire des simplification. Un moyen de aire disparaître racine(a) c’est par exemple de le multiplier par racine(a) parce que tu obtiens alors racine(a)*racine(a) = a et ça c’est vrai quelque soit la valeur de a (du moment que a est un nombre positif car sinon la racine n’est pas définie). Dans ton cas c’est un petit peu plus compliqué parce que tu as une différence de racine au dénominateur : racine(b)-racine(a). Tu sais que pour faire disparaître une racine le meilleur moyen est en général de prendre le carré de la racine, c’est pour ça que quand tu as la différence de deux racine il faut que tu penses tout de suite à multiplier cette différence par la somme des deux mêmes racines : tu écris (racine(b)-racine(a))*(racine(b)+racine(a)). Tu te demandes peut-être pourquoi faire cela ? C’est parce que tu veux faire apparaître les nombres racine(a) et racine(b) au carré pour ne plus avoir que a et b comme nombre et en multipliant ton dénominateur par la somme des deux racines tu fais apparaître la somme des carrés de tes racines : (racine(b)-racine(a))*(racine(b)+racine(a)) = racine(b)^2 - racine(a)^2 + racine(ab) – racine(ab) = b-a
Donc pour n’importe quelle valeur de a et b tu peux toujours te débarrasser des racines au dénominateur en multipliant par racine(b)+racine(a). Seulement pour ne pas changer la valeur de la fraction, si tu multiplies par racine(b)+racine(a) en bas, il faut aussi que tu multiplies par la même valeur en haut (tu multiplies et tu divises par le même nombre donc tu ne changes pas la valeur totale de la fraction). En haut de ta fraction tu vas donc écrire (b*racine(a)-a*racine(b))*( racine(b)+racine(a)). Si tu développe ce produit tu verras qu’il est égal à racine(ab)*(b-a). Donc finalement l’ensemble de la fraction après avoir multiplié en haut et en bas par (racine(a)+racine(b)) vaut racine(ab)*(b-a) le tout divisé par (b-a). Tu vois alors que tu as b-a en facteur au numérateur et au dénominateur c'est-à-dire que tu peux simplifier par (b-a). Finalement la fraction que l’on t’a donné vaut racine(ab).
Pour que tu puisses retrouver ce résultat je te rappelle juste une petite chose sur les racines : lorsque tu as le produit de deux racine, c’est égal à la racine du produit donc racine(a)*racine(b) = racine(ab)
Tu vois que l’on peut faire une démonstration complètement générale où l’on a pas besoin de choisir des valeurs particulières pour a et b. En faisant comme ça on prouve que la fraction vaut racine(ab) pour n’importe quelle valeur de a et de b. C’est ça qui est important parce que maintenant si on te donne des valeur pour a et b, par exemple a = 2 et b = 8 tu peux affirmer tout de suite que la fraction vaut racine(2*8) = racine(16) = 4. Tu peux directement remplacer les valeur de a et b dans le résultat que tu as obtenu avec a et b parce que on a prouvé que ce résultat était vrai dans TOUS les cas. Quand tu remplace a et b par une valeur particulière avant de faire la démonstration littérale tu ne prouves pas du tout que le résultat est vrai pour toutes les valeurs de a et b, tu ne le prouves que pour LA valeur particulière que tu as choisie. C’est ça qui te bloque dans les deux autres exercices que tu nous as envoyés. Je te renvoie sur ces exercices pour avoir plus de précisions.

J’espère que cela t’aidera. Bon courage et meilleurs vœux pour l’année 2004.

A bientôt Jeremy.

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