Probleme de sous monoide ?

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		Bonjour ! Un monoïde est u lire

Bonjour !

Un monoïde est un ensemble E muni d'une loi de composition interne associative et qui possède un neutre. Pour chaque sous ensemble A,B,C,D il faut donc vérifier quatre choses :
- D’abord que les sous ensembles appartiennent bien à
IR mais ça c’est une évidence
- que la loi est bien une loi de composition interne,
c'est-à-dire que pour deux éléments quelconques du sous ensemble , l’image appartient encore au sous ensemble
- que la loi de composition est bien associative
- qu’il existe un neutre pour cette loi qui appartient
au sous ensemble.

Vérifier l’associativité consiste à prendre trois éléments quelconques Z1,Z2,Z3 du sous ensemble et à
vérifier que l’on a bien Z1+(Z2+Z3) = (Z1+Z2)+Z3 (de
même avec la loi *). En fait ici tu n’as pas besoin de le vérifier pour tous les sous ensemble car il suffit de dire que les deux lois + et * sont associatives dans IR donc aussi pour tout sous ensemble de IR (quelque soit trois éléments du sous ensemble A par exemple, ces trois éléments appartiennent aussi à IR et donc + et * sont associatives pour ces trois éléments, cqfd).

Pour vérifier que la loi est une loi de composition interne il faut vérifier que si Z1 et Z2 appartiennent au sous ensemble alors pour Z1+Z2 = Z3, Z3 appartient aussi au sous ensemble. Par exemple prenons le sous ensemble A avec la loi + :
Soient Z1 et Z2 appartenant à A. Par définition ils peuvent s’écrire Z1=3*X1 et Z2=3*X2 avec X1 et X2 appartenant à IR. Donc Z3 = Z1+Z2= 3*Z1+3*Z2=3*(Z1+Z2). Le nombre 3*(Z1+Z2) est évidemment un multiple de 3 donc Z3 appartient bien à A. + est donc une loi de composition interne pour le sous ensemble A.
On peut faire la même chose pour la loi * :
Z3=Z1*Z2=3*Z1*3*Z2=9*Z1*Z2 ce qui est encore un multiple de 3 donc Z3 appartient à A. Donc * est une loi de composition interne pour A.

Enfin, il faut vérifier qu’il existe un élément neutre appartenant au sous ensemble pour la loi de composition interne. Par définition un élément neutre est un élément qui laisse inchangé tout élément de l’ensemble par la loi de composition. Prenons l’exemple du sous ensemble A. Il faut vérifier que quelque soit Z appartenant a A, il existe un élément N de A tel que Z+N=Z. Comme Z et N appartiennent à A ils peuvent s’écrire Z=3*X et N=3*n avec X et n appartenant à IR. Donc 3*X+3*n = 3*(X+n). Pour que N soit un élément neutre il faut donc que 3*(X+n)=Z c'est-à-dire que 3*(X+n)=3*X c'est-à-dire que n=0. Il faut alors vérifier que l’élément neutre trouvé appartient à A. Comme 0=3*0, 0 est bien un multiple de
3 donc 0 appartient à A. 0 est l’élément neutre de la loi de composition interne + sur le sous ensemble A.
Finalement on a vérifié que + était une loi de composition interne associative sur le sous ensemble A avec l’élément neutre 0. Donc A est bien un sous monoïde de IR.
On peut essayer de trouver un élément neutre pour la loi * sur A :
On recommence la même méthode. On prend un élément quelconque Z appartenant à A et on doit trouver un élément tel que Z*N=Z donc il faut trouver n tel que 3*x*3*n=3*x. Donc n=1/3. Le problème c’est que 1/3 n’est pas un multiple de 3 donc l’élément neutre n’appartient pas à A. Cela ne peut donc pas être un élément neutre pour * sur A. Cette condition ne pouvant pas être vérifier, (A,*) n’est pas un sous monoïde de A.

Pour qu’un sous ensemble soit un sous monoïde de IR, il faut que toutes les conditions soient vérifiées.

Tu dois vérifier les trois condition pour chaque sous ensemble et chaque loi de composition en appliquant la même méthode que ce que j’ai fait pour A. Il faut que tu penses à chaque fois que les informations que l’on connaît sont des informations sur IR. Il est donc toujours fructueux de revenir à l’expression d’un élément du sous ensemble en tant qu’élément de IR. En faisant cela tu pourras vite te rendre compte que beaucoup des sous ensemble ne sont pas des sous monoïde parce que au moins une des conditions n’est pas vérifiée. Par exemple tu peux rapidement voir que pour (B,+) 1/n+1/m=(n+m)/nm, or (n+m)/nm n’appartient pas forcément à B donc + n’est pas une loi de composition interne. Autre exemple pour (C,+), si tu prend les éléments 1 et 0.5 qui appartiennent tous les deux à C tu vois bien que 1+0.5=1.5 or 1.5 n’appartient pas à C donc + n’est pas une loi de composition interne de C donc (C,+) n’est pas un sous monoïde de IR.

Je te laisse faire les autres…Bon courage !

A bientôt.

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