en une : Sujet : causes de la crise de 1929

Exercice sur les complexes.

Mathematiques > sujets expliqués - 06/12/2008 - correction
                
Bonjour.

Pour la question 0, il faut trouver l'antécédent des points donnés. Pour le point O, par exemple, il faut trouver le point tel que si on lui applique la transformation, on tombe sur O. Quand on connait M et son affixe z, on trouve son image en appliquant la formule $Z=\frac{2iz-i}{z+1}$.
Là, c'est le problème inverse : on connait M' et son affixe Z et on veut trouver z. Il suffit donc de remplacer dans la formule précédente Z par l'affixe du point dont on cherche l'antécédent et de résoudre l'équation ainsi obtenue pour trouver z.

Pour le point O, d'affixe 0, cela donne
$\frac{2iz-i}{z+1}=0$
soit $2iz-i=0$
d'où $z=1/2$
Donc l'antécédent de O est le point de coordonnées (1/2 ; 0).

Pour trouver l'antécédent de A il faut résoudre
$\frac{2iz-i}{z+1}=-1$.
Même principe pour B.

Pour la question 1, vos réponses sont justes.

Pour la question 2, je ne comprend pas ce que vous essayez de faire...
On cherche en fait les antécédents des points de l'axe des ordonnées. M' est sur cet axe si et seulement si son affixe Z est imaginaire pur ce qui est encore équivalent à dire que Z+Zbarre est nul. Or on a calculé à la question précédente que
[Formule incorrecte ou erreur de parsing. Erreur 6 ]
(l'étoile signifie "barre").
Donc Z+Z* nul équivaut à z-z*=0, ce qui équivaut à z réel.

Donc l'ensemble E1 des antécédents de l'axe des ordonnées est l'axe des abscisses.

Même raisonnement dans la question 3 : M' est sur l'axe des abscisses si et seulement si Z est réel, qui équivaut à Z-Z*=0. On résout l'équation et on trouve les z correspondants.
Même raisonnement dans la question 4 où cette fois ci M' est sur le cercle de centre O et de rayon 1 équivaut à ZZ*=1.
Les questions 5 et 6 sont ensuite de la géométrie élémentaire.

Voilà, j'espère que ces précisions vous permettront de faire votre devoir. N'hésitez pas à nous contacter si vous avez d'autres questions !
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