Dm spé.

Mathematiques > sujets expliqués - 06/10/2007 - correction

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		Exercice 1 : Irrationalité d' lire
		1) 1. x0 est rationnel, il ex lire
		c'est 3^n - 1 ;) j'ai fait att lire
		Un= ((3^(n-1)-1)/(3-1) Un d lire
		Oké parfait. Par contre pour lire
		X=YmoduloZ indique juste que Y lire
		Ok, parfait ;) Vous pouvez cl lire
		très bien, bon courage lire

1)
1. x0 est rationnel, il existe donc p et q premiers entre eux tels que p/q=x0
x0 est racine, donc
p²/q²+bp/q+c=0
p²=-q(bpq+c)
on en déduit que q divise q², or p et q sont premiers entre eux, nécessairement q=1

x0=q, il est entier.

2. on prouve les deux implications :
racine(n) est un rationnel ->
n est un carré parfait

et n est un carré parfait -> racine(n) est un rationnel

la première est evidente, si n est un carré parfait, racine(n) est entier, donc rationnel.

pour la deuxième, on utilise la question un en notant que racine(n) est solution de P avec b=0 et c=-n.
c'est une racine de P, s'il est rationnel, il est entier, donc n est un carré parfait.

2)
1.a.
3=3modulo7
pour les autres, on multiplie le résultat par 3 et on effectue le modulo7.
3*3=9 -> 3^2=2modulo7
2*3=6 -> 3^3=6modulo7
3*6=18 -> 3^4=4modulo7
3*4=12 -> 3^5=5modulo7
3*5=15 -> 3^6=1modulo7

b.
3^(n+6) - 3^n = 3^n(3^6-1)
or 3^6=1modulo7, donc
3^6-1 est multiple de 7

le modulo d'un somme est la somme des modulo, donc 3^n et 3^(n+6) ont le même reste.

c.
1002 pair et multiple de 3 -> multiple de 6, donc 1000=6*k+4
donc 3^1000mod7 = 3^4mod7 = 4mod7

d.
il suffit de trouver le reste r de n par 6, et de regarder le reste de 3^r par 7.

e.
pour n de 0 à 6, 3^n n'est pas divible par 7, et pour tout m, le reste de la division par 6 est une valeur de 0 à 6, 3^m n'est jamais divisible par 7.

2.a.
pourriez-vous précisez la question 2.2, il s'agit de 3^(n-1), ou de 3^n-1 (puisque c'est à priori le même termes dans les question a et b)

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