Fonction x vers ln[u(x)]

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		Bonjour David, Pour faire c lire

Bonjour David,

Pour faire cet exercice tu dois vraiment comprendre les notions d’ensemble de définition, de dérivée et de limites, qui ne sont rien d’autre que des moyens de caractériser le comportement d’une fonction.
L’ensemble de définition te donne tous les nombres auxquels ont peut associer une valeur par la fonction que tu étudies. Trouver l’ensemble de définition c’est donc trouver toutes les valeurs de x pour lesquelles tu peux calculer la valeur de f(x). La fonction ln(x) est une fonction que tu dois parfaitement connaître. Ses principales caractéristiques sont qu’il s’agit d’une fonction toujours croissante, définie uniquement pour les x positifs et qui est négative sur ]0, 1] et positive de 1 à + l’infini. Lorsque tu cherches l’ensemble de définition d’une fonction composée c'est-à-dire f(g(x)) (ce qui est le cas ici puisque tu étudies ln(ln(x)) )il faut toujours que tu commences par trouver les conditions imposées par la fonction la plus « extérieure » c'est-à-dire f(X) dans ma notation. Dans ton cas il s’agit de ln(X) . Comme je te l’ai rappelé, pour que cette fonction soit définie il faut que X soit positif. C'est-à-dire que X = ln(x) doit être positif. Or la fonction ln est positive seulement si x > 1. Donc finalement l’ensemble de définition de la fonction ln(ln(x)) est [1, +00[ (+00 signifie plus l’infini).

La dérivée est une fonction qui donne les tendances de la fonction en donnant le coefficient directeur de la tangente à la courbe. Si ce coefficient directeur est positif, la tangente est une droite montante, et donc la fonction est croissante. Inversement si le coefficient directeur est négatif. Pour aller plus vite, il y a un certain nombre de règle de calcul des dérivées qu’il faut parfaitement connaître. En particulier, la dérivée d’une fonction composée s’écrit comme suit : (f(g(x))’ = f ’(g(x))*g’(x)
Comme la dérivée de ln(x) vaut 1/x, la dérivée de ln(ln(x)) vaut (ln(x))’*1/(ln(x)) c'est-à-dire (1/x)*(1/ln(x)) = 1/(x*ln(x))

La tangente au graphe d’une fonction est une droite dont le coefficient directeur est donné par la dérivée de la fonction en ce point et qui passe par le même point que la fonction pour cette valeur de x. Donc on cherche à établir l’équation y = ax + b avec a = f ’(e) et b tel que f(e) = ax + b
f ‘(e) = 1/(e*ln(e)) or tu sais que ln(e)=1 donc f ‘(e) = 1/e
f(e) = ln(ln(e)) = ln(1) = 0
pour trouver b il faut donc résoudre 0 = x/e + b au point x = e donc 0 = 1 + b c’est à dire que b = -1
L’équation de la tangente à f en x = e c’est y = x/e -1

Trouver une limite c’est trouver vers quelle valeur se dirige la fonction pour une certaine valeur de l’abscisse x. Pour déterminer une limite d’une fonction composée, à l’inverse d’une dérivée, il faut commencer par la fonction la plus « intérieure ». Ici, il faut d’abord trouver la limite de x/(x+1). Cette fonction tend vers 0 quand x tend vers 0 car le dénominateur tend vers 1 et le numérateur vers 0 (donc il n’y a pas d’indétermination). Ensuite il faut donc trouver la limite de ln(X) quand X tend vers 0 et on sait que cette limite c’est -00. Cette limite doit être additionnée à la limite de 2x – 1. Or 2x – 1 tend vers -1 quand x tend vers 0. Donc finalement la limite de g(x) quand x tend vers 0 c’est -00.
La limite en +00 se calcul de la même façon sauf qu’il faut lever l’indétermination que tu as sur x/(x+1) car numérateur et dénominateur tendent tous les deux vers +00. Pour cela le moyen le plus simple est de factoriser par x. Tu trouves alors 1/(1+1/x). Or 1/x tend vers 0 quand x tend vers +00 et donc finalement x/(1+x) tend vers 1 quand x tend vers +00. De ce fait, la fonction g(x) tend vers +00 quand x tend vers +00.

Les asymptotes sont liées à la notion de limite. Elles décrivent comment la fonction tend vers sa limite. Pour la limite en 0 on sait que g(x) tend vers -00 comme la fonction ln c'est-à-dire qu’elle a une asymptote verticale en 0. Pour la limite en +00 on va trouver une asymptote oblique qui est la droite D proposée en regardant la limite de la dérivée de g(x). Tu dois donc, comme pour la fonction précédente, calculer la dérivée, en étudier le signe pour connaître sur quel domaine la fonction est croissante ou décroissante, et finalement trouver qu’elle est croissante avec une pente 2x – 1 en +00.

Voilà David, j’espère que tout cela t’aidera.

A bientôt.

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