en une : Le raisonnement par récurrence

Math brevet des colleges

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Bonjour monsieur,

Avant toute chose, pour faire un exercice de géométrie et en l’occurrence pour comprendre plus facilement les démonstrations que je vous propose.
La phrase de la première question n’est pas complète mais je pense avoir compris que le point B doit être construit tel que ABCD soit un parallélogramme. Si tel est bien le cas alors on peut résoudre le problème comme suit :
1) pour placer le point B il suffit de tracer la droite parallèle à (AD) et celle parallèle à (DC). Le point d’intersection de ces deux nouvelles droites donne la position du point B. (En effet, par définition un parallélogramme est un quadrilatère dont les cotés opposés sont parallèles).
2) L’idée est de démontrer que AEBC est aussi un parallélogramme. Si on montre cela alors c’est gagné car dans un parallélogramme les cotés opposés définissent deux vecteurs égaux. Par définition de la droite (EF) donnée dans l’énoncé, on sait que (EB) est parallèle à (AC). Par ailleurs, ABCD étant un parallélogramme, les droites (AD) et (BC) sont parallèles et donc on a également (AE) parallèle à (BC) puisque E appartient à (ED). On a donc à la fois (AC) // (EB) et (AE) // (BC) (le symbole // signifie « parallèle à » ). Donc ACBE est un parallélogramme et donc EB = AC (équation vectorielle). On peut faire exactement la même démonstration pour prouver que ACFB est un parallélogramme et donc que AC = BF (toujours en vecteurs) .
Pour prouver que B est le milieu de EF il faut utiliser la colinéarité des vecteurs EB et EF :
Comme EB = AC et AC = BF alors on a le vecteur EB = BF. Deux vecteurs égaux sont nécessairement colinéaires donc ici E, B et F sont trois points alignés. De plus comme EB = BF (en vecteur) on a EB = BF (sur les longueurs). E, B et F n’étant pas des points confondus, le sens des vecteurs EB = BF impose donc que B soit le milieu de EF.

3) Je crois qu’il y a une petite faute de frappe dans cette question également. Je pense que l’équation vectorielle qui est demandée est EO = O’F et non pas OF. Si je ne me trompe pas dans cette question il faut alors utiliser une autre propriété des parallélogrammes qui est que les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu. On vient de démontrer que B est le milieu de [EF]. Par ailleurs O’ est le symétrique de O par rapport à B donc par définition B est le milieu du segment [OO’]. Les segments [EF] et [OO’] se coupent en leur milieu B donc ils définissent un parallélogramme OEO’F. Dans ce parallélogramme on a nécessairement les vecteurs EO et O’F égaux car ce sont les cotés opposés d’un même parallélogramme.

Voilà, j’espère que tout ceci vous aidera. Il est en tout cas essentiel pour ce genre d’exercice de connaître parfaitement toutes les propriétés et définitions relatives aux parallélogrammes afin de pouvoir jongler avec elle dans tous les sens. Les idées sont toujours les mêmes mais il faut penser à les prendre dans l’ordre qui convient aux hypothèses que donne l’énoncé et à la conclusion recherchée.

A bientôt.
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