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Derivation etudes de fonctions

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Bonjour,

Cet exercice à pour but de te faire travailler les études de fonction. Il faut que soit très systématique. Une étude de fonction se fait toujours en 4 étapes :
1) Donner le domaine de définition de la fonction que tu étudies
2) calculer la dérivée
3) étudier le signe de la dérivée
4) faire le tableau de variation de la fonction
Pourquoi est-il nécessaire de toujours faire ces quatre étapes ? Tu dois avoir bien compris que la dérivée d’une fonction te donne la pente de la fonction en tout point. Ainsi, si tu trouves que la dérivée d’une fonction est positive pour x = 3, cela signifie que en ce point la pente de la fonction monte, c'est-à-dire que la fonction est croissante en 3. Si tu es capable d’avoir le signe de la dérivée sur tout le domaine de définition de la fonction (c'est-à-dire toute les valeur de x pour lesquelles la fonction existe) alors tu seras capable de dire si la fonction est croissante ou décroissante et donc tu pourras aussi dire si la fonction a des maximum ou des minimum.
Pour pouvoir appliquer cette méthode d’étude des fonctions il faut également que tu possède parfaitement la technique de dérivation. Je te rappelle donc rapidement les dérivées dont tu as besoin dans cet exercice et que tu dois impérativement savoir par cœur (le symbole ^n veut dire « à la puissance n » et f ’(x) désigne la dérivée de f(x) ) :
Si f(x) = x^n alors f ’ (x) = n*x^(n-1)
Si f(x) = 1/x alors f ’ (x) = -1/(x^2)

Si tu sais en plus que la dérivée d’une somme de fonction est égale à la somme des dérivée (c'est-à-dire que ( f(x) + g(x) )’ = f ’(x) + g’(x) ) alors tu dois être capable de faire tout l’exercice.
Je te donne maintenant quelques indications précises sur les questions de ton exercice :

1) a) tu dois d’abord écrire la fonction que tu dois étudier c'est-à-dire
Cm(q) = C(q)/q = q/2 + 5 + 200/q
La dérivée de q/2 vaut 1/2 la dérivée d’une constante est nulle donc la dérivée de 5 vaut 0 et la dérivée de 200/q vaut 200 fois la dérivée de 1/q c'est-à-dire -200/(q^2). Donc la dérivée de Cm(q) vaut
Cm’(q) = -200/(q^2) + 1/2
Pour arriver à la forme que l’on te demande de Cm’(q) il suffit que tu réduise la fraction au même dénominateur et que tu factorises. Si tu mets les deux fractions -200/(q^2) et ½ au même dénominateur 2q^2 (tu dois multiplier la première par 2 en haut et en bas et la deuxième par q^2) alors tu obtiens
Cm’(q) = (q^2 – 400)/(2q^2)
Au numérateur tu dois avoir el réflexe de reconnaître la différence de 2 carré et tu dosi savoir que a^2 – b^2 = (a-b)(a+b) c’est à dire qu’ici (q^2 – 400) = (q-20)(q+20)
Tu arrives donc à l’expression que l’on te demande.

b) quand on te demande pour quel nombre d’objet le coût moyen est minimum cela reviens à te demander pour quelle valeur de q la fonction Cm(q) passe par un minimum. Pour cela tu dois faire l’étude complète de la fonction Cm(q). Tu appliques donc rigoureusement les 4 étapes que je t’ai données au début :
1) le domaine de définition de la fonction Cm(q) est donné dans l’énoncé : q ne peut prendre des valeurs que entre 5 et 60. Le domaine de définition est donc [ 5 ; 60]. Cette étape de l’étude de fonction est souvent oubliée elle est pourtant essentielle car cela veut dire que tu n’as pas besoin de chercher les valeurs de la fonction en dehors de cet intervalle.
2) la dérivée de la fonction tu l’as calculée à la question précédente, elle vaut Cm’(q) = (q-20)(q+20)/(2q^2)
3) le signe de la dérivée : le signe d’une fraction dépend du signe du numérateur et du dénominateur. Ici le dénominateur vaut 2q^2 il est donc forcément toujours positif. Le numérateur est le produit de (q-20) qui est négatif pour q<20 et de (q+20) qui est toujours positif pour toute valeur de q appartenant à l’ensemble de définition de la fonction (q appartient à [5 ; 60]) donc la fraction est du même signe que (q-20) c'est-à-dire que la dérivée Cm’(q) est négative sur [5 ; 20[ elle s’annule pour q = 20 et elle est positive sur ]20 ; 60].
4) tu en déduis que la fonction est décroissante sur [5 ; 20[, qu’elle passe par un minimum en q = 20 et qu’elle est croissante sur ]20 ; 60].
Tu as ainsi répondu à la question en prouvant que la fonction passe par un minimum pour q = 20, donc le coût moyen est minimum pour 20 objets fabriqués.

2) La deuxième question se traite exactement de la même façon à partir du moment où tu as bien définie la fonction que tu cherches à étudier. On te demande d’étudier le bénéfice B(q) . Le bénéfice sur un objet correspond à la différence entre le prix de vente de cet objet et son coût de fabrication. C’est donc P(q) – Cm(q). Mais on te demande de calculer le bénéfice totale pour q objet tu dois donc multiplier le bénéfice réalisé sur un objet par le nombre d’objet. La fonction que tu dois étudier est donc B(q) = q*(P(q) – Cm(q)). En calculant cela tu arriveras à l’équation de parabole que l’on te donne dans l’énoncé. Il ne te resteras alors qu’à faire l’étude de cette fonction comme je te l’ai montrer pour Cm(q).

Voilà j’espère que cela t’aidera.

Bon courage et à bientôt.
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